[論文レビュー] Group Theoretical Interpretation of the CPT-theorem

В. В. Варламов|ArXiv.org|Jun 12, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿はクラッカー代数を用いた群論的枠組みを提示し、CPT定理を解釈する。離散的対称性（C、P、Tおよびそれらの組み合わせ）が、これらの代数の自己同型および擬自己同型から生じることを示している。8階の拡張CPT群を導入し、複素直交群におけるCPT構造の64通りの異なる実現が存在することを示しており、これはシロコフ＝ダブルスキーのPT構造を特別な場合として一般化している。

ABSTRACT

An algebraic description of basic discrete symmetries (space inversion P, time reversal T, charge conjugation C and their combinations PT, CP, CT, CPT) is studied. Discrete subgroups {1,P,T,PT} of orthogonal groups of multidimensional spaces over the fields of real and complex numbers are considered in terms of fundamental automorphisms of Clifford algebras. The fundamental automorphisms form a finite group of order 4. The charge conjugation is represented by a pseudoautomorphism of the Clifford algebra. Such a description allows one to extend the automorphism group. It is shown that an extended automorphism group (CPT-group) forms a finite group of order 8. The group structure and isomorphisms between the extended automorphism groups and finite groups are studied in detail. It is proved that there exist 64 different realizations of CPT-group. An extension of universal coverings (Clifford-Lipschitz groups) of the orthogonal groups is given in terms of CPT-structures which include well-known Shirokov-Dabrowski PT-structures as a particular case.

研究の動機と目的

• クラッカー代数の自己同型を用いて、離散的対称性C、P、Tおよびそれらの組み合わせを統一的な代数的記述で行うこと。
• 標準的なクラッカー代数の自己同型群に、電荷共役を擬自己同型として含めることで、8階のより大きなCPT群を構成すること。
• 複素空間上の直交群O(n,C)の普遍被覆（CPT構造）を分類・構成し、既知のPT構造を一般化すること。
• クラッカー代数の実部分代数の除法環構造に基づいて、CPT構造の実現数と種別を特定すること。

提案手法

• 本稿は、クラッカー代数Cl_{p,q}の基本的自己同型を用い、空間反転P、時間反転T、およびそれらの組み合わせを表現し、Z₂×Z₂に同型なクライン四元群を形成する。
• 電荷共役Cはクラッカー代数の擬自己同型として表現され、標準的対称性を超えた自己同型群が拡張される。
• 拡張されたCPT群は、8階の有限群として構成され、スピン群と一般化された離散的対称性群の半直積に同型である。
• O(n,C)の普遍被覆は、Clifford-Lipschitz群から導かれる。その構造は、自己同型の二乗によって決定される。
• CPT構造の分類は、符号 (p−q) mod 8 および実部分代数 fCl_{p,q}f の除法環タイプ（R または H）に依存する。
• 本稿は、クラッカー的でないPin群とクラッカー的Pin群を区別し、被覆群におけるZ₄またはQ₄因子の有無に応じて異なる群構造を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C、P、Tの離散的対称性は、クラッカー代数を用いた統一的代数的枠組み内でどのように一貫して記述可能か？
• RQ2 電荷共役を擬自己同型として含む拡張自己同型群の構造はいかなるものか？
• RQ3 複素直交群O(n,C)におけるCPT構造の実現は、いくつ存在するか？
• RQ4 クラッカー代数の実部分代数の除法環構造とCPT被覆の分類の関係は何か？
• RQ5 新しいCPT構造は、既知のシロコフ＝ダブルスキーのPT構造をどのように一般化するか？

主な発見

• 拡張されたCPT群は8階の有限群を形成し、電荷共役を擬自己同型として含むことで、標準的な{1, P, T, PT}群を一般化している。
• 複素直交群O(n,C)におけるCPT構造の実現は、正確に64通り存在する。その数は符号(p−q) mod 8および実部分代数の除法環タイプに依存する。
• 実部分代数fCl_{p,q}fが実数体（R）に同型である場合、CPT構造は8つのシロコフ＝ダブルスキーのPT構造に還元される。
• fCl_{p,q}f ≅ H（クaternion）である場合、非クラッカー的およびクラッカー的両方のPin群タイプを含む64通りの普遍被覆が生じる。
• 非クラッカー的Pin群は、Z₂⊗Z₂⊗Z₂⊗Z₂またはZ₄⊗Z₂⊗Z₂因子を用いて構成され、クラッカー的群は、符号および除法環タイプに応じてQ₄⊗Z₂またはD₄⊗Z₂因子を用いる。
• 分類は、符号(a,b,c,d,e,f,g)における+および−の数に基づき、各タイプの存在条件を明確に区別する。