[論文レビュー] Growth degree classification for finitely generated semigroups of integer matrices

Jason P. Bell, Michael James Coons+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2014

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、log(mₙ(𝒜))/log n の極限が常に非負整数または無限大であることを証明することで、整数行列の有限生成半群の成長度を分類し、成長率における完全なギャップ構造を確立する。この結果により、正規列に関する疑問が解決され、非整数次数の多項式的成長が不可能であることが示され、行列半群および自動列への応用が得られる。

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be a finite set of $d imes d$ matrices with integer entries and let $m_n(\mathcal{A})$ be the maximum norm of a product of $n$ elements of $\mathcal{A}$. In this paper, we classify gaps in the growth of $m_n(\mathcal{A})$; specifically, we prove that $\lim_{n o\infty} \log m_n(\mathcal{A})/\log n\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\cup\{\infty\}.$ This has applications to the growth of regular sequences as defined by Allouche and Shallit.

研究の動機と目的

• 有限個の整数行列からなる集合 𝒜 からの n 個の行列積の最大ノルムの可能な成長率を分類すること。
• ジュンガーズ、プロタソフ、クロネルが提起した、成長度の極限の整数性に関する疑問を解決すること。
• mₙ(𝒜) の成長における完全なギャップ構造を確立し、非整数次数の多項式的成長が不可能であることを示すこと。
• 従来の多項式的成長対指数的成長の結果を、多項式的次数の完全な分類へと拡張すること。
• アローシュとシャリットが定義する正規列にこの結果を適用し、行列半群の成長と自動列を結びつけること。

提案手法

• GrDeg(𝒜) := limₙ→∞ log mₙ(𝒜) / log n として成長度を定義する。ここで mₙ(𝒜) は、有限集合 𝒜 からの n 個の行列積の最大ノルムを表す。
• 関連スペクトル半径 ρ(𝒜) を主要な不変量として用い、ρ(𝒜) > 1 ならば GrDeg(𝒜) = ∞、ρ(𝒜) = 1 ならば GrDeg(𝒜) ∈ ℤ≥₀ であることを示す。
• ρ(𝒜) = 1 のとき、mₙ(𝒜) が適切な非負整数 k に対して nᵏ と正確に同程度に成長すること、かつ一様な多項式的バウンディングが成り立つことを証明する。
• 固有値が単位根である行列の表現論とスペクトル解析を用い、複素行列半群の構造を活用する。
• 積のノルムが 0 でない整数行列では、関連スペクトル半径が 1 以上でなければならないこと、かつ成長が多項式的であるのは ρ(𝒜) = 1 のときのみであることを用いる。
• クラス 𝒮₀(Σₘ) を介して、行列半群の成長と正規列の間に接続を確立し、このような列の成長度が常に整数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の整数行列からなる集合に対して、mₙ(𝒜) の成長が非整数次数の多項式的成長（例：非整数 α に対する n^α）を示すことは可能か？
• RQ2 整数行列半群に対して、limₙ→∞ log mₙ(𝒜)/log n の極限が常に整数または無限大であるか？
• RQ3 関連スペクトル半径がちょうど 1 であるとき、mₙ(𝒜) の成長は整数次数の多項式的成長を示すか？
• RQ4 行列積によって定義される正規列の成長度が非整数であることは可能か？
• RQ5 有限生成整数行列半群の可能な成長率の完全な構造は何か？

主な発見

• 任意の非退化な d×d 整数行列の有限集合 𝒜 に対して、成長度 GrDeg(𝒜) は常に非負整数または無限大である。
• GrDeg(𝒜) = k ∈ ℤ≥₀ であるとき、すべての n ≥ 1 に対して正の定数 C₁, C₂ を用いて C₁nᵏ ≤ mₙ(𝒜) ≤ C₂nᵏ が成り立つ。
• 関連スペクトル半径 ρ(𝒜) > 1 のとき、成長度は無限大であり、これは超多項式的成長を示している。
• ρ(𝒜) = 1 のとき、成長は整数次数 k の多項式的成長であり、n^√2 のような非整数次数の多項式的成長は不可能である。
• ジュンガーズ、プロタソフ、クロネルの予想（limₙ→∞ log(ρ(𝒜)^{-n}mₙ(𝒜))/log n が整数であること）が整数行列に対して正当化された。
• 任意の正規列 f ∈ 𝒮₀(Σₘ) の成長度は非負整数であり、これは ρ(𝒜) = 1 かつ多項式的成長を示す行列積から生じるためである。