[論文レビュー] Guarded Cubical Type Theory: Path Equality for Guarded Recursion

Lars Birkedal, Aleš Bizjak+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、計算的経路等価性を有する立方体型理論と、ガーデッド再帰を有するガーデッド依存型理論を統合したガーデッド立方体型理論（GCTT）を導入する。立方体型理論の区間型を固定点の展開を制御するために統合することで、GCTTは型チェックの決定可能性と正規性を保ちつつ、コーサイナティブ構成を含むガーデッド再帰型に対する非自明な拡張的等価性の証明を可能にする。

ABSTRACT

This paper improves the treatment of equality in guarded dependent type theory (GDTT), by combining it with cubical type theory (CTT). GDTT is an extensional type theory with guarded recursive types, which are useful for building models of program logics, and for programming and reasoning with coinductive types. We wish to implement GDTT with decidable type-checking, while still supporting non-trivial equality proofs that reason about the extensions of guarded recursive constructions. CTT is a variation of Martin-Löf type theory in which the identity type is replaced by abstract paths between terms. CTT provides a computational interpretation of functional extensionality, is conjectured to have decidable type checking, and has an implemented type-checker. Our new type theory, called guarded cubical type theory, provides a computational interpretation of extensionality for guarded recursive types. This further expands the foundations of CTT as a basis for formalisation in mathematics and computer science. We present examples to demonstrate the expressivity of our type theory, all of which have been checked using a prototype type-checker implementation, and present semantics in a presheaf category.

研究の動機と目的

• 等価性の反射によるガーデッド依存型理論（GDTT）における型チェックの不決定性を解消すること。
• 正規性や決定性を損なわずに、ガーデッド再帰型に対する非自明な拡張的等価性の証明を可能にすること。
• 立方体型理論（CTT）の経路等価性を用いて、ガーデッド再帰型の拡張性の計算的解釈を提供すること。
• GCTTの健全な圏論的意味論を、$\mathcal{C} \times \omega$ 上のプレシーヴィートポスで確立すること。
• 型チェックが決定的で、計算的等価性を備えた型理論において、プログラム論理やコーサイナティブ推論を形式化する基盤を構築すること。

提案手法

• 立方体型理論（CTT）の区間型 $\mathbb{I}$ をガーデッド依存型理論（GDTT）に統合し、固定点の展開を制御する。
• 帰納的同一性型の代わりに経路型を用いることで、関数的およびガーデッド拡張的等価性の計算的解釈を可能にする。
• 「後続」型を表す新しい型コンストラクタ $\triangleright$ を定義し、経路に基づく等価性規則を導入することで、ガーデッド再帰的構成の拡張についての推論を可能にする。
• プレシーヴィーとポス $\widehat{\mathcal{C} \times \omega}$ において GCTT のモデルを構築し、立方体集合におけるファイブレーションと、デ・モーガン代数構造を持つ内部論理を用いる。
• 例の検証のためのプロトタイプ型チェックャを用い、ストリーム関数やガーデッド固定点に関する証明を検証する。
• 立方体集合の内部論理を活用して同一性型をモデル化し、ガーデッド再帰の下でも整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体型理論の経路等価性を用いて、等価性の反射を用いずに、ガーデッド再帰型の拡張性の計算的解釈を提供できるか？
• RQ2 ガーデッド立方体型理論は、型チェックの決定性と正規性を保ちつつ、ガーデッド再帰的構成の拡張に関する非自明な証明を可能にするか？
• RQ3 立方体型理論の区間型を、ガーデッド再帰型における固定点の展開を制御するためにどのように利用できるか？
• RQ4 プレシーヴィーとポスで、ガーデッド立方体型理論の健全性を支える圏論的意味論は何か？
• RQ5 $\triangleright$ と経路型の間の相互作用原理が、構成的かつ計算的に意味のある方法でコーサイナティブ型についての推論を可能にする仕組みは何か？

主な発見

• ガーデッド立方体型理論（GCTT）は、立方体型理論の経路に基づく等価性とガーデッド依存型理論の再帰を効果的に統合し、等価性の反射を用いずに拡張的推論を可能にする。
• 理論はガーデッド拡張的等価性の計算的解釈をサポートする：型 $\triangleright \operatorname{Id} A\, t\, u$ の項は、経路 $\operatorname{Id} (\triangleright A)\, (\mathsf{next}\, t)\, (\mathsf{next}\, u)$ に写像可能である。
• プレシーヴィーとポス $\widehat{\mathcal{C} \times \omega}$ において、GCTT の健全な意味論が確立された。立方体集合におけるファイブレーションと、論理和の性質を持つ内部デ・モーガン代数を用いる。
• モデルは立方体集合の内部論理を完全にサポートし、合成操作とファイブレーション型のユニバースを含む。これにより、ガーデッド再帰を拡張した CTT の完全なモデルが可能になる。
• ストリーム関数やガーデッド固定点を含む例が、プロトタイプ実装で正式にチェックされた。これにより、システムの表現力と正しさが確認された。
• このアプローチは、型チェックが決定的で、正規性を備えた型理論において、プログラム論理やコーサイナティブ推論を形式化する基盤を提供する。これはプロトタイプ実装によって裏付けられている。