[論文レビュー] Hamiltonian Dynamics on Lie Algebroids, Unimodularity and Preservation of Volumes

J.C. Marrero|ArXiv.org|May 1, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リー代数準束の双対バンドル上のハミルトニアン力学が、基本的タイプの体積形式を保存するための必要十分条件が、リー代数準束がユニモジュラーであることであることを確立している。主な結果は、リウヴィルの定理とリー＝ポワンスの系におけるコズロフの結果を一般化し、体積保存を決定する中心的な幾何的不変量としてリー代数準束のモジュラーラスクラスを用いる。

ABSTRACT

In this paper we discuss the relation between the unimodularity of a Lie algebroid $τ_{A}: A o Q$ and the existence of invariant volume forms for the hamiltonian dynamics on the dual bundle $A^{*}$. The results obtained in this direction are applied to several hamiltonian systems on different examples of Lie algebroids.

研究の動機と目的

• リー代数準束の双対バンドル上でのハミルトニアン力学が体積形式を保存するための必要十分条件を特定すること。
• ユニモジュラーなリー代数に関するリウヴィルの定理とコズロフの結果を、より広いリー代数準束の設定に一般化すること。
• 力学系がポisson多様体上に存在する場合の、ユニモジュラー性およびモジュラーラスクラスが体積保存に果たす役割を調査すること。
• シンプレクティック構造およびリー＝ポワンス構造を超えて、一般のリー代数準束によって誘導されるポアソン構造に対する体積保存動力学の理解を拡張すること。

提案手法

• 底多様体上の体積形式と代数の最高外積の非退化な切断を用いて、リー代数準束のモジュラーラスクラスを定義する。
• 選択された体積形式に関してハミルトニアンベクトル場の発散を用いて、双対バンドル上にモジュラーベクトル場を構成する。
• モジュラーラスクラスとリー代数準束のコホモロジー類との間の一対一対応を確立し、この類が消えることによってユニモジュラー性を定義する。
• リー代数準束 $A$ の構造によって誘導される双対バンドル $A^*$ 上の線形ポアソン構造を用いて、ハミルトニアン力学を定義する。
• ハミルトニアンベクトル場のフローを解析し、それが基本的タイプの体積形式を保存するための条件を導出する。
• 具体的な例に応用する：標準的力学系、アティヤ代数準束、作用代数準束（重ね子系を含む）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数準束の双対バンドル上でのハミルトニアン力学が体積形式を保存する条件は何か？
• RQ2 リー代数準束のモジュラーラスクラスは、ハミルトニアン系に対して不変体積形式の存在とどのように関係するか？
• RQ3 リー代数準束のユニモジュラー性は、ポアソン多様体上の力学系における体積保存をどの程度特徴づけるか？
• RQ4 非ユニモジュラーなリー代数準束上でも体積保存動力学が生じ得るか。その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 リウヴィルの定理およびリー＝ポワンス系におけるコズロフの結果は、どのようにリー代数準束の設定に一般化されるか？

主な発見

• リー代数準束 $A$ の双対バンドル $A^*$ 上でのハミルトニアン力学が、基本的タイプの体積形式を保存するための必要十分条件は、$A$ がユニモジュラーであることである。
• 定数ポテンシャルエネルギーを有する力学的ハミルトニアン系では、$A^*$ 上での体積保存が成立するための必要十分条件は、リー代数準束 $A$ がユニモジュラーであることである。
• 重ね子系の場合は、$ \mathfrak{so}(3)$ がユニモジュラーであり、$S^2$ 上の体積を保存する作用が成り立つことから、$ \mathfrak{so}(3)^* \times S^2 \simeq \mathbb{R}^3 \times S^2$ 上の体積形式 $dp_1 \wedge dp_2 \wedge dp_3 \wedge \nu$ が保存される。
• リー代数準束のモジュラーラスクラスは、底多様体および代数上の体積形式の選択に依存せず、リー代数準束コホモロジーにおけるwell-definedなコホモロジー類を定義する。
• 作用代数準束系における体積保存の条件は、リー代数のモジュラーチャラクターと無限小作用の発散を含む微分方程式に簡略化される。
• 本論文は、非ユニモジュラーなリー代数準束上でも体積保存動力学が生じ得ることを特定したが、それは非基本的体積形式の場合に限られ、その場合にはより複雑な構造が関与している。