[論文レビュー] Hardy Inequalities in General Domains

Georgios Psaradakis|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 81被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限な内半径を持つ一般の領域において、境界からの距離関数の分布的ラプラシアンを用いて、L1重み付きハーディー不等式の鋭い最適な剰余項を確立する。C2領域が平均凸であることは、距離関数の分布的ラプラシアンが非負であることにちょうど等しいことを証明し、球の場合には最適定数が得られ、p > n の Lp ハーディー不等式は最適な Hölder 型セミノルムを用いて改善される。

ABSTRACT

Key Words: Hardy inequalities, Sobolev inequalities, Morrey inequality, distance function, mean curvature, best constants, semi-concavity, sets with positive reach, mean convex sets, Cheeger constant, modulus of continuity

研究の動機と目的

• 内半径が有限な領域における L1 重み付きハーディー不等式の鋭い同次剰余項を導出すること。
• C2 領域の平均凸性を距離関数の分布的ラプラシアンを用いて特徴付けること。
• 球の場合に上界と下界が一致するため、剰余項の最適定数を確立すること。
• p > n の Lp ハーディー不等式を、最適な重み付き Hölder セミノルムを加えることで改善すること。
• 解析を原点からの距離と境界からの距離の両方へ拡張し、Sobolev 型不等式を改善すること。

提案手法

• 境界からの距離関数の分布的ラプラシアンを主要な解析的道具として用いる。
• 距離関数 d の分布的ラプラシアンが、非負の特異部と、(n−1)inf H(y) にほとんど everywhere で下から有界な絶対連続部を持つ符号付き Radon 測度であることを証明する。
• C2 領域が平均凸であることは、分布の意味で −∆d ≥ 0 であることとちょうど等しいことを確立する。
• ラプラシアンの構造を応用して、L1 重み付きハーディー不等式の剰余項における最良定数の下界と上界を導出する。
• p > n の Lp ハーディー不等式に対して、最適な重み付き Hölder セミノルムを加えることで、局所的な改善を実現する。
• 変分的および幾何的技法を用いて、最良定数を伴う Sobolev 不等式とハーディー不等式を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内半径が有限な領域における L1 重み付きハーディー不等式の最適な同次剰余項は何か？
• RQ2 境界の平均曲率は、L1 重み付きハーディー不等式における剰余項の鋭さにどのように影響するか？
• RQ3 特に球の場合に、剰余項の最良定数を正確に特徴づけることは可能か？
• RQ4 距離関数の分布的ラプラシアンは、平均凸性を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 p > n の Lp ハーディー不等式は、Hölder セミノルムを含む最適な剰余項によってどのように改善できるか？

主な発見

• 境界からの距離関数の分布的ラプラシアンは、符号付き Radon 測度であり、非負の特異部と、(−∆d)ac ≥ (n−1)inf H(y) a.e. in Ω を満たす絶対連続部を持つ。
• C2 領域が平均凸であることは、分布の意味で −∆d ≥ 0 であることとちょうど等しい。
• 球の場合、剰余項における最良定数の上界と下界が一致し、最適な定数を有する有限個の剰余項が得られる。
• L1 重み付きハーディー不等式の剰余項における最良定数は、(n−1)inf H(y) 以上であり、全平均曲率以下である。
• p > n の Lp ハーディー不等式に最適な重み付き Hölder セミノルムを追加することで、最良の定数を伴う不等式が得られる。
• 結果として、Sobolev 不等式と p > n のハーディー不等式が両方とも精緻化され、精緻化された形でハーディー不等式が最良の定数を伴って現れる。