[論文レビュー] Harmonic analysis, Ergodic theory and Counting for thin groups

Hee Oh|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、SO(n,1)の同調空間における幾何的に有限なスリム群の軌道について、スペクトルギャップおよび行列係数推定を用いて、有効な等分布および数え上げ結果を確立する。この群の不変な球体パッキングは、自己同型ハウスドルフ測度に関して漸近的に等分布しており、数え上げは臨界指数およびスペクトルギャップのデータに従うことが示される。

ABSTRACT

For a geometrically finite group Gamma of G=SO(n,1), we survey recent developments on counting and equidistribution problems for orbits of Gamma in a homogeneous space H\G where H is trivial, symmetric or horospherical. Main applications are found in an affine sieve on orbits of thin groups as well as in sphere counting problems for sphere packings invariant under a geometrically finite group. In our sphere counting problems, spheres can be ordered with respect to a general conformal metric.

研究の動機と目的

• H が自明、対称、または水平的である場合の、H\G における幾何的に有限なスリム群の軌道の有効な等分布理論の構築。
• 調和解析およびエルゴディック理論を用いて、スリム群の軌道へのアフィンのふるい法の拡張。
• 一般の自己同型計量によって順序付けられた不変な球体パッキングにおける球体の数え上げ問題の解決。
• 有効な数え上げが成立するための臨界指数およびスペクトルギャップの条件の同定。
• 大面積の球体の個数と集合の自己同型ハウスドルフ測度との間の明確な漸近的関係の確立。

提案手法

• スペクトルギャップおよびハリシュ・チャンドラの調和解析から得られる、L²(Γ\G)における行列係数推定の利用。
• 幾何的に有限な群に対するロブリンのエルゴディック理論的結果（行列係数の減衰）の適用。
• 等分布のための鍵となる条件としてのスキンニング測度 μ_H^PS の導入。その有限性が要求される。
• 厚化および横断的交差技術を用いて、行列係数の減衰から等分布への移行を実現。
• 面積_f(C) を定義する自己同型計量 f(z) ≍ y^{-k} の使用と、数え上げを α 次元ハウスドルフ測度 H_f^α と関連付ける。
• スケーリングおよびメビウス変換の不変性を用いて、グローバルな数え上げを基本領域上の局所的推定に還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g→∞ のとき、Γ\ΓHg が Γ\G で等分布するためのスペクトル的および幾何的条件は何か？
• RQ2 幾何的に有限な群の臨界指数 δ と L²(Γ\G) におけるスペクトルギャップの関係は何か？
• RQ3 面積_f(C) > t を満たす球体 C ∈ P₀ および C ∩ E ≠ ∅ を満たす球体の個数の漸近的成長率は何か？
• RQ4 自己同型計量 f は、球体パッキング問題における極限集合のハウスドルフ次元および測度にどのように影響するか？
• RQ5 Γ\ΓHg の有効な等分布における明確な誤差項は何か？また、これはスペクトルギャップデータにどのように依存するか？

主な発見

• δ > n−2 を満たす幾何的に有限な群 Γ ⊂ SO(n,1) に対して、L²(Γ\G) 内の行列係数は有効に減衰し、Γ\ΓHg の有効な等分布が可能になる。
• Γ\ΓHg が Γ\G で等分布するための必要十分条件は、スキンニング測度 μ_H^PS が有限であることである。この測度は、測地線フローにおけるコンパクト集合への戻りを制御する。
• 面積_f(C) > t かつ C ∩ E ≠ ∅ を満たす球体 C ∈ P₀ の個数について、任意の境界が滑らかなボレル集合 E に対して lim_{t→∞} t^{α/2} · # ∼ c_A · H_f^α(E) が成り立つ。
• f(z) ≍ y^{-k} のとき、自己同型ハウスドルフ測度 H_f^α(E) が有限であるための必要十分条件は α^{-1} < k < 2 − α^{-1} である。ここで k は計量の減衰率である。
• 漸近的関係における定数 c_A は、スペクトルギャップおよび同調空間の幾何学的構造と明確に関連している。
• この結果は、適切な減衰を有する自己同型計量の下で、H² 内のすべての Γ-不変な円パッキング（特に理想三角形パッキングを含む）に一般化可能である。