[論文レビュー] Heat kernel estimates and their stabilities for symmetric jump processes with general mixed polynomial growths on metric measure spaces

Joohak Bae, Jae-Hoon Kang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

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ひとこと要約

本稿では、下位スケーリング指数が1より大きい条件下で、一般の混合多項式成長を示すジャンプカーネルをもつ対称的純ジャンプマルコフ過程について、測度付き距離空間上でのヒートカーネル推定とその安定性を確立する。先行研究を一般化するために、レート関数に依存しないスケール関数を導入し、有限モーメント条件と無限大における一般化されたヒンチンケ型繰り返し対数法則の間の同値性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a symmetric pure jump Markov process $X$ on a metric measure space with volume doubling conditions. Our focus is on estimating the transition density $p(t,x,y)$ of $X$ and studying its stability when the jumping kernel exhibits general mixed polynomial growth. Unlike previous work, in our setting, the rate function governing the jump growth may not be comparable to the scale function that determines whether $p(t,x,y)$ has near-diagonal or off-diagonal estimates. Under the assumption that lower scaling index of scale function is greater than $1$, we establish stabilities of heat kernel estimates. Additionally, if the metric measure space admits a conservative diffusion process with a transition density satisfying sub-Gaussian bounds, we generalize heat kernel estimates from [3, Theorems 1.2 and 1.4] using the rate function and the function $F$ related to walk dimension of underlying space. As an application, we prove the equivalence between a finite moment condition based on $F$ and a generalized Khintchine-type law of iterated logarithm at infinity for symmetric Markov processes.

研究の動機と目的

• ジャンプカーネルに一般の混合多項式成長を示す対称的純ジャンプマルコフ過程について、測度付き距離空間上でのヒートカーネル推定を導出すること。
• ヒートカーネル推定の、ジャンプカーネルの摂動に対する安定性を確立すること。
• [3, 定理1.2および1.4]の既存のヒートカーネル推定を一般化するために、スケール関数とウォーク次元に関連する関数Fを導入すること。
• 関数Fに基づく有限モーメント条件と、無限大における一般化されたヒンチンケ型繰り返し対数法則との同値性を証明すること。

提案手法

• 著者たちは、Φ(d(x,y)) = t が近似対角と非対角のヒートカーネル推定の閾値を定義するスケール関数Φを定義する。
• 基礎となる空間のウォーク次元に関連する関数Fを導入し、それを用いてヒートカーネル推定を一般化する。
• 解析は体積二重性条件およびスケール関数の下位スケーリング指数 > 1 に依存する。
• UHKD(Φ)、Jψ,≤、EΦ の仮定のもとで、クラス T(ϕ) の性質を用いて、ヒートカーネル推定の安定性を確立する。
• 補助関数の構築と、Φ、ϕ、および関数 K(ρ) = Φ(ρ)/ρ の逆関数を含む不等式を用いる証明技法を採用する。
• 比較原理を適用し、下位スケーリング条件を用いてスケール関数およびその逆関数の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き距離空間上での、ジャンプカーネルに一般の混合多項式成長を示す対称的ジャンプ過程について、どのような条件下でヒートカーネル推定を確立できるか？
• RQ2 レート関数とスケール関数が互いに比較不能である場合、ヒートカーネル推定の安定性はどのように振る舞うか？
• RQ3 ウォーク次元に関連する関数Fは、ヒートカーネル推定の一般化において果たす役割は何か？
• RQ4 有限モーメント条件は、無限大における一般化されたヒンチンケ型繰り返し対数法則とどのように関係しているか？
• RQ5 一般のスケーリング仮定のもとで、有限モーメント条件と繰り返し対数法則の同値性を証明できるか？

主な発見

• 本稿では、一般の混合多項式成長のもとで、p(t,x,y) ≍ (1/V(x,ϕ⁻¹(t)) ∧ t/(V(x,d(x,y))ϕ(d(x,y)))) の形のヒートカーネル推定を確立する。
• スケール関数の下位スケーリング指数が1より大きい場合、ヒートカーネル推定の安定性が証明される。
• 著者たちは、[3, 定理1.2および1.4]のヒートカーネル推定を、ウォーク次元に関連する関数Fを導入することで一般化する。
• 関数Fに基づく有限モーメント条件と、無限大における一般化されたヒンチンケ型繰り返し対数法則との同値性が証明される。
• 関数 K(ρ) = Φ(ρ)/ρ の構築と、下位および上位スケーリング条件を用いた逆関数 K⁻¹ の制御に依存する。
• 結果は体積二重性条件およびスケール関数の下位スケーリング指数が1より大きいという仮定のもとで成立する。