[論文レビュー] High frequency homogenization of bubbly crystals

Habib Ammari, Hyundae Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 27被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ブリュアンゾーンのコーナーにおける最初のブロッホ固有値がピークを示すことを証明することで、気泡を含むフォノニックス結晶の高周波数均質化を確立した。これにより、固有関数をゆっくり変化する成分と周期的成分に厳密に分解できるようになった。また、臨界周波数付近での音波のスーパー・フォーカスが確認され、それ以上の周波数でバンドギャップが開くことが裏付けられ、従来の波長未満のバンドギャップ結果が希薄でない状態にまで拡張された。

ABSTRACT

This paper is concerned with the high-frequency homogenization of bubbly phononic crystals. It is a follow-up of the works [H. Ammari et al., Sub-wavelength phononic bandgap opening in bubbly media, J. Diff. Eq., 263 (2017), 5610--5629] which shows the existence of a sub-wavelength band gap. This phenomena can be explained by the periodic inference of cell resonance which is due to the high contrast in both the density and bulk modulus between the bubbles and the surrounding medium. In this paper, we prove that the first Bloch eigenvalue achieves its maximum at the corner of the Brillouin zone. Moreover, by computing the asymptotic of the Bloch eigenfunctions in the periodic structure near that critical frequency, we demonstrate that these eigenfunctions can be decomposed into two parts: one part is slowly varying and satisfies a homogenized equation, while the other is periodic across each elementary crystal cell and is varying. They rigorously justify, in the nondilute case, the observed super-focusing of acoustic waves in bubbly crystals near and below the maximum of the first Bloch eigenvalue and confirm the band gap opening near and above this critical frequency.

研究の動機と目的

• 気泡を含む媒質における従来の波長未満のバンドギャップ結果を希薄でない状態にまで拡張すること。
• 最初のブロッホ固有値の振る舞いと、それがブリュアンゾーンのコーナーで最大値を示すことの分析。
• 臨界周波数近くでのブロッホ固有関数を、均質化された成分と周期的成分に厳密に分解すること。
• 漸近解析を用いて、気泡結晶内での音波の観察されたスーパー・フォーカスを正当化すること。
• 高周波数均質化技術を用いて、臨界周波数付近およびそれ以上の周波数でバンドギャップが開くことを確認すること。

提案手法

• 周期的構造のスペクトル解析を用いて、最初のブロッホ固有値がブリュアンゾーンのコーナーで最大値に達することを証明する。
• 臨界周波数近くでのブロッホ固有関数に対して漸近展開を行い、ゆっくり変化する均質化成分と急激に振動する周期的成分に分離する。
• 高周波数均質化を用いて、固有関数のゆっくり変化する成分が満たす極限方程式を導出する。
• 周期的アンフォールディング法とマッチド漸近展開を併用して、微視的スケールと巨視的スケールの間の遷移を捉える。
• 気泡とマトリックス間の密度および体積弾性率の高対比を活用して、強い散乱効果をモデル化する。
• 希薄でない状態における漸近的分解に対して厳密な誤差推定を確立し、収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 気泡を含むフォノニックス結晶において、最初のブロッホ固有値の最大値はブリュアンゾーンのどの位置に位置するか？
• RQ2 希薄でない状態において、臨界周波数近くでのブロッホ固有関数はどのように漸近的に分解されるか？
• RQ3 臨界固有値最大付近での気泡結晶内における音波のスーパー・フォーカスの背後にあるメカニズムは何か？
• RQ4 高周波数均質化フレームワークは、臨界周波数付近およびそれ以上の周波数でバンドギャップが開く現象をどのように説明できるか？
• RQ5 観察された波長未満のバンドギャップは、漸近解析を用いて希薄極限においても厳密に正当化可能か？

主な発見

• 最初のブロッホ固有値はブリュアンゾーンのコーナーで最大値に達し、波の局在化のための臨界周波数が確認された。
• 臨界周波数近くのブロッホ固有関数は、ゆっくり変化する均質化成分と周期的成分に分解可能であり、これにより有効な巨視的モデル化が可能になった。
• 均質化された成分は高周波数均質化により導かれた極限方程式を満たし、有効な波動挙動を捉えている。
• 漸近的分解は、固有値最大付近での観察された音波のスーパー・フォーカスを厳密に正当化している。
• バンドギャップが臨界周波数付近およびそれ以上の周波数で開くことが確認され、実験的観察および従来の波長未満バンドギャップ結果と整合的である。
• 本分析は希薄でない状態でも有効であり、従来の希薄配置に限定された結果を拡張した。