[论文解读] Higher Hochschild cohomology, Brane topology and centralizers of $E_n$-algebra maps

Rafael J. L. Morcillo, Thomas Tradler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用 15

一句话总结

该论文通过使用配分同调和高阶Hochschild上链，为一个m维定向流形M的映射空间$\mathrm{Map}(S^n, M)$的平移积分链建立了$E_{n+1}$-代数结构。它通过在$E_n$-Hochschild上同调上构造$E_{n+1}$-结构，证明了高阶Deligne猜想，将该结构识别为$E_n$-代数映射的中心化子，并为$E_n$-代数的迭代Bar构造提供了配分代数模型。

ABSTRACT

We use factorization homology and higher Hochschild (co)chains to study various problems in algebraic topology and homotopical algebra, notably brane topology, centralizers of $E_n$-algebras maps and iterated bar constructions. In particular, we obtain an $E_{n+1}$-algebra model on the shifted integral chains of the mapping space of the n-sphere into an orientable closed manifold $M$. We construct and use $E_\infty$-Poincaré duality to identify higher Hochschild cochains, modeled over the $n$-sphere, with the chains on the above mapping space, and then relate Hochschild cochains to the deformation complex of the $E_\infty$-algebra $C^*(M)$, thought of as an $E_n$-algebra. We invoke (and prove) the higher Deligne conjecture to furnish $E_n$-Hochschild cohomology, and all that is naturally equivalent to it, with an $E_{n+1}$-algebra structure. We prove that this construction recovers the sphere product. In fact, our approach to the Deligne conjecture is based on an explicit description of the $E_n$-centralizers of a map of $E_\infty$-algebras $f:A o B$ by relating it to the algebraic structure on Hochschild cochains modeled over spheres, which is of independent interest and explicit. More generally, we give a factorization algebra model/description of the centralizer of any $E_n$-algebra map and a solution of Deligne conjecture. We also apply similar ideas to the iterated bar construction. We obtain factorization algebra models for (iterated) bar construction of augmented $E_m$-algebras together with their $E_n$-coalgebras and $E_{m-n}$-algebra structures, and discuss some of its features. For $E_\infty$-algebras we obtain a higher Hochschild chain model, which is an $E_n$-coalgebra. In particular, considering an n-connected topological space $Y$, we obtain a higher Hochschild cochain model of the natural $E_n$-algebra structure of the chains of the iterated loop space of $Y$.

研究动机与目标

• 为任意m维定向流形M的映射空间$\mathrm{Map}(S^n, M)$的平移积分链建立$E_{n+1}$-代数结构。
• 使用高阶Hochschild上链，为$E_n$-代数映射的中心化子提供配分代数模型。
• 通过在$E_n$-Hochschild上同调上构造$E_{n+1}$-代数结构，证明高阶Deligne猜想。
• 为增强$E_n$-代数的迭代Bar构造提供配分代数模型，揭示其$E_n$-余代数和$E_{m-n}$-代数结构。
• 通过$E_∞$-Poincaré对偶性，将$S^n$上的高阶Hochschild上链与$C^*(M)$作为$E_n$-代数的形变复形联系起来。

提出的方法

• 使用配分同调和高阶Hochschild（上）链来建模映射空间$\mathrm{Map}(S^n, M)$的上同调。
• 应用$E_\infty$-Poincaré对偶性，将$S^n$上的高阶Hochschild上链与$\mathrm{Map}(S^n, M)$的链联系起来。
• 通过高阶Deligne猜想，利用显式的参数化配分代数结构，在$E_n$-Hochschild上同调上构造$E_{n+1}$-代数结构。
• 依赖高阶形式性与Tamarkin的同伦$P_{n+1}$-结构，计算$E_{n+1}$-结构的显式模型。
• 使用$E_n$-代数的迭代Bar构造来定义一个携带$E_n$-余代数和$E_{m-n}$-代数结构的配分代数模型。
• 将该构造应用于$n$-连通空间的$E_\infty$-代数，得到$C_*(\Omega^n Y)$作为$E_n$-代数的高阶Hochschild上链模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过$S^n$上的高阶Hochschild上链对$E_\infty$-代数之间映射的$E_n$-中心化子进行建模？
• RQ2 根据高阶Deligne猜想预测，$E_n$-代数的$E_n$-Hochschild上同调是否自然携带$E_{n+1}$-代数结构？
• RQ3 能否为$E_n$-代数的迭代Bar构造的配分代数模型赋予$E_n$-余代数和$E_{m-n}$-代数结构？
• RQ4 $E_\infty$-Poincaré对偶性如何将$S^n$上的高阶Hochschild上链与$\mathrm{Map}(S^n, M)$的链联系起来？
• RQ5 $E_n$-Hochschild上同调上的$E_{n+1}$-结构是否同构于弦拓扑中的球面乘积？

主要发现

• 对于任意m维定向流形M，平移积分链$C_{\bullet+m}(\mathrm{Map}(S^n, M))$自然携带$E_{n+1}$-代数结构，该结果通过配分同调得到证明。
• 通过$E_\infty$-Poincaré对偶性，$S^n$上建模的高阶Hochschild上链与$\mathrm{Map}(S^n, M)$的链之间存在拟同构。
• $E_n$-代数的$E_n$-Hochschild上同调同构于范畴中结构映射的中心化子。
• 通过参数化配分代数的显式构造，证明了高阶Deligne猜想，即在$E_n$-Hochschild上同调上存在$E_{n+1}$-代数结构。
• 增强$E_n$-代数的迭代Bar构造自然携带$E_n$-余代数结构和$E_{m-n}$-代数结构，且已显式构造出其配分代数模型。
• 对于一个$n$-连通空间$Y$，将$C^*(M)$作为$E_n$-代数的高阶Hochschild上链模型，可恢复$C_*(\Omega^n Y)$的$E_n$-代数结构。