[論文レビュー] Hitting Time Statistics and Extreme Value Theory

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非一様的に双曲的力学系における到達時間統計（HTS）と極値理論（EVT）の深い関係を確立し、絶対連続不変測度をもつマルチモーダル写像において、追加の混合速度条件を要せずとも、古典的極値法則と指数的到達時間統計が自然に出現することを示している。主な貢献は、帰還時間と極値への統一的枠組みを構築し、区間写像および高次元系においてヤングタワーを用いて検証したことである。

ABSTRACT

We consider discrete time dynamical systems and show the link between Hitting Time Statistics (the distribution of the first time points land in asymptotically small sets) and Extreme Value Theory (distribution properties of the partial maximum of stochastic processes). This relation allows to study Hitting Time Statistics with tools from Extreme Value Theory, and vice versa. We apply these results to non-uniformly hyperbolic systems and prove that a multimodal map with an absolutely continuous invariant measure must satisfy the classical extreme value laws (with no extra condition on the speed of mixing, for example). We also give applications of our theory to higher dimensional examples, for which we also obtain classical extreme value laws and exponential hitting time statistics (for balls). We extend these ideas to the subsequent returns to asymptotically small sets, linking the Poisson statistics of both processes.

研究の動機と目的

• 離散時間力学系における到達時間統計（HTS）と極値理論（EVT）の理論的関係を確立すること。
• 絶対連続不変測度をもつマルチモーダル区間写像において、Gumbel、Fréchet、Weibullの古典的極値法則が、混合速度の明示的条件がなくても成立することを示すこと。
• ヤングタワーを有する多項式的または指数的相関減衰を示す高次元系に、HTSおよびEVTの枠組みを拡張すること。
• ポisson過程を通じて最初の到達時間と極値の統計的挙動を統一し、極限法則の同等性を示すこと。
• ヤングタワー構成を用いて、非一様的に拡張的であるが $C^1$ で開いている局所微分同相写像のクラスに対して、理論を検証すること。

提案手法

• 軌道に沿った観測量の部分的最大値に対する極値法則（EVL）の使用。正規化列 $a_n$, $b_n$ を用い、$n\mu(X_0 > u_n) \to \tau$ となるように設定する。
• 極値理論における $D(u_n)$ および $D'(u_n)$ 条件の適用により、力学系における依存性を制御し、古典的EVLへの収束を保証する。
• 非一様的に双曲的系のためのヤングタワーの構築により、帰還時間と相関の減衰を制御し、HTSおよびEVTの導出を可能にする。
• 双曲的テイル集合 $\Gamma_n = \{x : \mathcal{E}(x) > n\}$ の体積減衰推定を用いて、相関減衰を評価し、$D(u_n)$ および $D'(u_n)$ 条件の証明を行う。
• 幾何的歪みおよび $v$-近傍における減衰率を用いて、短距離および長距離依存性を制御するための補題6.5および補題6.6の適用。
• 指数的相関減衰（例：$\text{e}^{-\alpha t}$）および体積推定を用いて、適切な $k$, $t$ に対して $\limsup_{n\to\infty} S_1(t,n) \to 0$ および $\limsup_{n\to\infty} S_2(t,n,k) \to 0$ を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的に双曲的系において、到達時間統計と極値理論を統合できるか？
• RQ2 絶対連続不変測度をもつマルチモーダル写像が、混合速度の追加条件なしに古典的極値法則を満たすか？
• RQ3 非一様双曲的性を示す高次元系に、HTSとEVTの関係を拡張できるか？
• RQ4 ヤングタワーおよび相関減衰は、古典的EVLおよび指数的HTSへの収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 漸近的に小さな集合を持つ系において、最初の到達時間と極値のポアソン統計はどのように関係するか？

主な発見

• 絶対連続不変測度をもつマルチモーダル写像では、混合速度に関するいかなる条件も要せず、古典的極値法則（Gumbel、Fréchet、Weibull）が成立する。
• 本稿では、ヤングタワー枠組みと双曲的テイル集合の体積減衰を用いて、高次元系における球への指数的到達時間統計を証明している。
• $C^1$ で開いている非一様的に拡張的局所微分同相写像のクラスに対して、体積減衰 $\text{Leb}(\Gamma_n) \leq C\text{e}^{-\gamma n}$ を用いて $D(u_n)$ および $D'(u_n)$ 条件が検証された。
• 正規化最大値 $M_n$ の極限法則は $\text{e}^{-\tau}$ に収束し、ここで $\tau = \text{e}^{-y}$、$y^{-\alpha}$、または $(-y)^\alpha$ であり、領域の吸引域に応じて異なる。
• 点 $\zeta$ の周囲の小さな球への最初の到達時間は、EVT枠組みと同じ正規化列を用いて指数分布に収束する。
• 最初の到達時間と極値のポアソン統計が、同じ条件下で漸近的に同等であることが示され、両者とも同じポアソン極限に収束する。