[論文レビュー] Hom-Novikov Algebras and Hom-Novikov-Poisson Algebras

Lamei Yuan, Hong You|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、線形のねじれ写像を用いた、ノヴィコフ代数およびノヴィコフ＝ポワンスキー代数の一般化であるホム・ノヴィコフ代数とホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数を導入し、それらを研究している。同論文では、可換ホム・結合的代数と微分作用素からの構成法を確立し、二つのホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数のテンソル積が再びホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数であることを証明しており、対称的かつ非退化な不変形式を備えた2次形式のホム・ノヴィコフ代数の概念を導入し、それらを2次形式のノヴィコフ代数およびホム・リ代数と関連づけている。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study Hom-Novikov algebras and Hom-Novikov-Poisson algebras, both of which were defined by Yau. In the paper, we give several constructions leading us to some interesting examples of Hom-Novikov algebras and Hom-Novikov-Poisson algebras. Also, we introduce the notion of quadratic Hom-Novikov algebras and provide some properties.

研究の動機と目的

• 線形ねじれ写像を用いたホム・ノヴィコフ代数およびホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数として、ノヴィコフ代数およびノヴィコフ＝ポワンスキー代数の理論を拡張すること。
• ホム・ノヴィコフ代数とホム・リ代数、およびホム・ノヴィコフ代数とノヴィコフ代数の間の構造的関係を確立すること。
• 2次形式のノヴィコフ代数の概念をホム設定に一般化し、対称的かつ非退化な不変双線形形式を導入すること。
• 可換ホム・結合的代数と微分作用素を用いた、ホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数の体系的構成法を提供し、元来の非ねじれの場合の構成法を一般化すること。
• 二つのホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数のテンソル積が再びホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数構造を備えることを示すこと。

提案手法

• 線形写像 α を用いて、結合的および反対称的条件をねじる形で、ノヴィコフ恒等式のねじれ版を用いてホム・ノヴィコフ代数を定義する。
• 微分作用素でない線形写像を用いた、可換ホム・結合的代数からホム・ノヴィコフ代数を構成し、ヤウの元来の構成法を拡張する。
• 対称的かつ非退化的で不変な双線形形式を満たすホム・ノヴィコフ代数として、2次形式のホム・ノヴィコフ代数を導入し、特定の不変性条件（式 4.3）を満たすものとする。
• ねじれ写像 α が自己同型または対合である場合、2次形式のホム・ノヴィコフ代数は、既知の2次形式のノヴィコフ代数および2次形式のホム・リ代数に還元されることを証明する。
• 定理 5.3 を用いて、可換ホム・結合的代数と微分作用素からホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数を構成し、ドルフマン＝ゲルファンドおよびシュウの構成法を一般化する。
• 誘導された積とねじれ写像の下で定義恒等式をチェックすることにより、二つのホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数のテンソル積が再びホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数構造を備えることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換ホム・結合的代数と微分作用素でない線形写像から、ホム・ノヴィコフ代数を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 ホム・ノヴィコフ代数とホム・リ代数の関係は何か？ これは古典的なノヴィコフ–リ代数対応とどのように関連するか？
• RQ3 2次形式のノヴィコフ代数の概念をホム設定に拡張できるか？ そのような代数の構造にどのような意味があるか？
• RQ4 二つのホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数のテンソル積が再びホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数構造を備えるための条件は何か？
• RQ5 可換ホム・結合的代数の微分作用素を用いて、非ねじれの場合に既知の構成法を一般化した新しいホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数をどのように構成できるか？

主な発見

• 微分作用素でない線形写像を用いた、可換ホム・結合的代数からホム・ノヴィコフ代数を構成する新しい方法が提示され、ヤウの元来の枠組みが拡張されている。
• 二つのホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数のテンソル積が再びホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数構造を備えることが示され、非ねじれの場合に既知の結果が一般化されている。
• 対称的かつ非退化的で不変な双線形形式を備えた2次形式のホム・ノヴィコフ代数の概念が導入され、式 (4.3) を満たすものとして定義されている。
• ねじれ写像 α が自己同型または対合である場合、2次形式のホム・ノヴィコフ代数は、それぞれ2次形式のノヴィコフ代数および2次形式のホム・リ代数に還元され、構造的関係が確立される。
• アーベル群 Δ によって添字づけられた基底を備えた可換ホム・結合的代数から、非自明な準同型 f を用いて定義される微分作用素を用いて、ホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数の例が構成されている。
• 例 5.6 において、基底 {x_a | a ∈ Δ} を備えたベクトル空間上に、具体的なホム・ノヴィコフ＝ポワンスキー代数が実現されており、積とねじれが指数関数的および線形写像を用いて定義されており、その結果得られる代数はすべての定義恒等式を満たしている。