[論文レビュー] A twisted generalization of Novikov-Poisson algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ノヴィコフ・ポワソン代数のねじれ一般化として、ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数を導入し、可換かつ結合的な積を含むホム・ノヴィコフ代数構造を拡張する。これらの代数がテンソル積、弱準同型によるねじれ、摂動に関して閉じていることを確立し、その交換子括弧がホム・ポワソン代数を導くための必要十分条件（可容性）を提示する。この性質がすべての構成において保存されることを示している。

ABSTRACT

Hom-Novikov-Poisson algebras, which are twisted generalizations of Novikov-Poisson algebras, are studied. Hom-Novikov-Poisson algebras are shown to be closed under tensor products and several kinds of twistings. Necessary and sufficient conditions are given under which Hom-Novikov-Poisson algebras give rise to Hom-Poisson algebras.

研究の動機と目的

• ノヴィコフ・ポワソン代数のねじれ一般化としてホム・ノヴィコフ・ポワソン代数を定義し、それらを研究すること。
• ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数がテンソル積に関して閉じていること、すなわち重要な構造的性質を確立すること。
• ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数がその交換子括弧によってホム・ポワソン代数を導く条件（可容性）を特徴づけること。
• ねじれ、テンソル積、摂動の各構成において、可容性が保存されることを示すこと。
• 特に乗法的および弱準同型の文脈において、ノヴィコフ・ポワソン代数の既知の結果をホムの文脈に一般化すること。

提案手法

• ホム・ノヴィコフ積とそれに整合する可換かつ結合的な積を持つ二重ホム代数としてホム・ノヴィコフ・ポワソン代数を定義する。
• ホム結合子と混合ホム結合子を用いて、ノヴィコフおよびポワソンの恒等式のねじれ版を形式化する。
• 弱準同型によるねじれを用いて新しいホム・ノヴィコフ・ポワソン代数を構成し、この操作に関して閉じていることを示す。
• ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数のテンソル積を定義し、その代数的構造を保つことを証明する。
• 写像 αⁿ と α²(a) = a を満たす元を用いて、乗法的ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数の摂動を導入する。
• ホム・ノヴィコフ積の左ホム結合性を用いて、可容性の必要十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数がその交換子括弧によってホム・ポワソン代数を導く条件は何か？
• RQ2 二つのホム・ノヴィコフ・ポワソン代数のテンソル積は再びホム・ノヴィコフ・ポワソン代数となるか？
• RQ3 弱準同型によるねじれはホム・ノヴィコフ・ポワソン構造および可容性にどのように影響するか？
• RQ4 乗法的ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数は、その代数的性質を保ちながら摂動可能か？
• RQ5 ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数のねじれ、テンソル積、摂動において、可容性は保存されるか？

主な発見

• ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数はテンソル積に関して閉じており、ノヴィコフ・ポワソン代数の結果を一般化する。
• 弱準同型によるねじれはホム・ノヴィコフ・ポワソン代数構造および可容性を保存する。
• 可容性の必要十分条件は、ホム・ノヴィコフ積が左ホム結合的であることである。
• テンソル積において可容性が保存されることを、積代数における左ホム結合子が消えることの検証により示した。
• αⁿ および α²(a) = a を満たす元を用いた乗法的ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数の摂動により、新たな可容的ホム・ノヴィコフ・ポワソン代数が得られる。
• 得られるホム・ポワソン代数におけるホム・リー括弧は、元の代数における交換子 [x,y] に対して α([x,y]) で与えられる。