[論文レビュー] Homeomorphism and diffeomorphism groups of non-compact manifolds with the Whitney topology

Тарас Банах, Kotaro Mine+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ホイットニー位相の下で非コンパクト多様体の同相群および微分同相群の位相的構造を調査する。コンパクトに台を持つ部分群が局所的可縮性を示し、$(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-多様体に同相であることが示され、恒等成分が開正規部分群をなすため、コンパクトに台を持つ群は恒等成分と離散的な写像類群に位相的因子分解可能である。

ABSTRACT

For a non-compact n-manifold M let H(M) denote the group of homeomorphisms of M endowed with the Whitney topology and H_c(M) the subgroup of H(M) consisting of homeomorphisms with compact support. It is shown that the group H_c(M) is locally contractible and the identity component H_0(M) of H(M) is an open normal subgroup in H_c(M). This induces the topological factorization H_c(M) \approx H_0(M) imes \M_c(M) for the mapping class group \M_c(M) = H_c(M)/H_0(M) with the discrete topology. Furthermore, for any non-compact surface M, the pair (H(M), H_c(M)) is locally homeomorphic to (\square^w l_2,\cbox^w l_2) at the identity id_M of M. Thus the group H_c(M) is an (l_2 imes R^\infty)-manifold. We also study topological properties of the group D(M) of diffeomorphisms of a non-compact smooth n-manifold M endowed with the Whitney C^\infty-topology and the subgroup D_c(M) of D(M) consisting of all diffeomorphisms with compact support. It is shown that the pair (D(M),D_c(M)) is locally homeomorphic to (\square^w l_2, \cbox^w l_2) at the identity id_M of M. Hence the group D_c(M) is a topological (l_2 imes R^\infty)-manifold for any dimension n.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな$\sigma$-コンパクト$n$-多様体上の同相群および微分同相群のホイットニー位相における局所的位相的構造を分析すること。
• コンパクトに台を持つ同相写像の部分群$\mathcal{H}_c(M)$および微分同相写像の部分群$\mathcal{D}_c(M)$が局所的可縮性を示し、多様体に類似した構造を持つかどうかを特定すること。
• $\mathcal{H}_c(M)$および$\mathcal{D}_c(M)$の位相的因子分解を、恒等成分と離散的な写像類群に与えること。
• $\mathcal{H}_c(M)$および$\mathcal{D}_c(M)$が恒等元の近傍で$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$に局所的に位相同相であることを証明し、それらが$(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-多様体であることを示すこと。

提案手法

• 写像の開被覆および一様近傍による定義に基づくホイットニー位相を、同相写像群および微分同相写像群に適用すること。
• 特に、$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$のペアを用いた局所的位相的モデルの概念を、恒等元近傍の局所的構造を特徴付けるために応用すること。
• LF空間およびフレシェ空間の理論、特に$\mathbb{R}^\infty$、$l_2$、$l_2 \times \mathbb{R}^\infty$が位相的多様体として特徴づけられることを活用すること。
• 定理6.9を用いた局所セクション構成とバンドル理論的技法を用いて、局所位相同相性の性質を確立すること。
• 強い位相を持つ変換群に提案5.5を適用し、コンパクト部分多様体の exhaustion による列を用いること。
• $\mathcal{H}_c(M)$および$\mathcal{D}_c(M)$における恒等成分$\mathcal{H}_0(M)$および$\mathcal{D}_0(M)$がそれぞれ開正規部分群であることを確立し、位相的因子分解を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな$\sigma$-コンパクト$n$-多様体上のコンパクトに台を持つ同相写像群$\mathcal{H}_c(M)$は、ホイットニー位相の下で局所的可縮性を示すか？
• RQ2 $(\mathcal{H}(M), \mathcal{H}_c(M))$のペアは、恒等元の近傍で$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$に局所的に位相同相であるか？
• RQ3 非コンパクトな滑らかな$n$-多様体上のコンパクトに台を持つ微分同相写像群$\mathcal{D}_c(M)$は、ホイットニー$C^\infty$-位相の下で位相的$(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-多様体であるか？
• RQ4 $\mathcal{H}_c(M)$は$\mathcal{H}_0(M) \times \mathcal{M}_c(M)$に位相的に因子分解可能であり、$\mathcal{M}_c(M)$が離散的であるか？
• RQ5 $\mathcal{D}(M)$および$\mathcal{D}_c(M)$の局所的構造は、$\mathcal{H}(M)$および$\mathcal{H}_c(M)$のそれと同一であり、具体的には恒等元の近傍で$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$に局所的に位相同相であるか？

主な発見

• 非コンパクトな$\sigma$-コンパクト$n$-多様体上のコンパクトに台を持つ同相写像群$\mathcal{H}_c(M)$は、ホイットニー位相の下で局所的可縮性を示す。
• 恒等成分$\mathcal{H}_0(M)$は$\mathcal{H}_c(M)$の開正規部分群であり、これにより位相的因子分解$\mathcal{H}_c(M) \approx \mathcal{H}_0(M) \times \mathcal{M}_c(M)$が得られ、$\mathcal{M}_c(M)$は離散的である。
• 任意の非コンパクトな曲面$M$に対して、ペア$(\mathcal{H}(M), \mathcal{H}_c(M))$は恒等元の近傍で$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$に局所的に位相同相であり、したがって$\mathcal{H}_c(M)$は$(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-多様体である。
• 非コンパクトな滑らかな$n$-多様体上のコンパクトに台を持つ微分同相写像群$\mathcal{D}_c(M)$も、恒等元の近傍で$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$に局所的に位相同相であり、これにより位相的$(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-多様体である。
• 恒等成分$\mathcal{D}_0(M)$は$\mathcal{D}_c(M)$の開正規部分群であり、$\mathcal{D}_c(M) \approx \mathcal{D}_0(M) \times \mathcal{M}_c^\infty(M)$が成り立ち、$\mathcal{M}_c^\infty(M)$は離散的である。
• $\mathcal{H}_c(M)$および$\mathcal{D}_c(M)$の両方の局所的構造は、ペア$(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$に従ってモデル化されており、無限次元多様体構造が確認される。