[論文レビュー] Homogeneous bundles over abelian varieties

Michel Brion|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体上の同次ベクトル束の分類を、任意の代数群に関する主束へ一般化する。反アフィン群スキームと可観測部分群理論を活用することで、アーベル多様体 $A$ 上の同次 $G$-束は、$G$ の可換部分群スキーム $H \subset G$ と、$H$ による $A$ の反アフィン拡張によって分類され、既知の接続や単純包あつかいの結果が拡張される。

ABSTRACT

We obtain characterizations and structure results for homogeneous principal bundles over abelian varieties, that generalize work of Miyanishi and Mukai on homogeneous vector bundles. For this, we rely on notions and methods of algebraic transformation groups, especially observable subgroups and anti-affine groups.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上の同次ベクトル束の分類を、任意の代数群に関する主束へ拡張すること。
• 特に反アフィン拡張と $G$-可換自己同型の構造を用いて、同次 $G$-束を群論的・幾何学的構造によって特徴付けること。
• 接続、単純包あつかいの束、代数的に自明な性質に関する既存の結果を、主束の文脈で統一的かつ一般化すること。
• $H$ を $G$ の可換部分群、$\mathcal{G}$ を $A$ への $H$ による反アフィン拡張とするペア $(H, \mathcal{G})$ を用いて、同次 $G$-束を分類すること。
• 同次性、接続の存在、自己同型群スキーム $\mathrm{Aut}^G(X)$ の構造の間の同値関係を確立すること。

提案手法

• 群スキーム $\mathrm{Aut}^G(X)$ の $G$-可換自己同型を分析し、それが局所有限型であり、最大の反アフィン部分群 $\mathcal{G}$ を含むことを示す。
• 自然な準同型 $\pi_*: \mathrm{Aut}^G(X) \to \mathrm{Aut}(A)$ を用いて、同次性を特徴付ける：$\pi$ が同次であるための必要十分条件は、$\pi_*$ が $\mathcal{G}$ を $A$ 上へ全射的に写すことである。
• 単純包あつかいの部分群 $R_u(G)$ と最大のアフィン部分群 $G_{\mathrm{aff}}$ を用いて、$G$ が再帰的である場合に還元することにより、$G$ が再帰的である場合に限定して $G$-束の研究を行う。
• 反アフィン拡張に関する分類結果 [Br09, SS09] を適用し、データ $\delta: H_u^* \to H^1(A, \mathcal{O}_A)$ と $c: \widehat{H_s} \to \widehat{A}(k)$ を用いて同次束をパラメトライズする。
• ムカイのフーリエ変換の同値性を用いて、単純包あつかいの束を $\widehat{A}$ の原点に台を持つ連続層と関連付ける。特に特徴 0 の場合に有効である。
• ある条件を満たす $\varphi \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{gp}}(A)$ が $\mathrm{Aut}^G(X)$ に引き上げられるための必要十分条件は、$c$ と $\delta$ に関する特定の共役および整合性条件が可換であることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の同次主 $G$-束の特徴づけは、ベクトル束に関する既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ2 自己同型群スキーム $\mathrm{Aut}^G(X)$ の構造は、同次性の特徴づけにどのように利用できるか？
• RQ3 反アフィン群スキームと可観測部分群は、このような束の分類にどのように寄与するか？
• RQ4 可換部分群 $H \subset G$ と $H$ による $A$ の拡張を含むデータを用いた、同次 $G$-束の正確な分類は何か？
• RQ5 接続および可積分接続に関する結果は、ベクトル束から一般の主束へどのように拡張されるか？

主な発見

• 定理 1.1 は、主 $G$-束 $\pi: X \to A$ が同次であるための必要十分条件が、反アフィン拡張 $0 \to H \to \mathcal{G} \to A \to 0$ に付随する $H$-束への構造群の還元を許す、$G$ の可換部分群スキーム $H \subset G$ が存在することであることを確立する。
• 特徴 0 では、同次性は（必然的に可積分である）接続の存在と同値であり、マツシマとモリモトの結果が一般化される。
• 単純包あつかいの部分群 $R_u(G)$ と最大のアフィン部分群 $G_{\mathrm{aff}}$ を用いることで、$G$ が再帰的である場合に還元でき、分類が簡略化される。
• $G = \mathrm{GL}_n$ の場合、分類は宮西と向井の結果を回復する：同次ベクトル束は代数的に自明なラインバンドルの繰り返しの拡張、または対角化可能な群の重み空間の直和として表される。
• 特徴 0 では、$A$ への $H$ による反アフィン拡張は、単射写像 $\delta: H_u^* \to H^1(A, \mathcal{O}_A)$ と $c: \widehat{H_s} \to \widehat{A}(k)$ によって分類され、$H_u$ が有限のとき正の特徴でも同様の分類が成り立つ。
• 楕円曲線の場合、同次 $G$-束は三重組 $(u, H_s, c)$ によって分類され、ここで $u$ は $G$ の単純包あつかい元、$H_s$ は $C_G(u)$ の対角化可能な部分群、$c: \widehat{H_s} \to E(k)$ は単射であり、同時に共役による同値関係を除いて一意に定まる。