[論文レビュー] Homogeneous Lie Groups and Quantum Probability

R. Friedrich, John McKay|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、自由確率論の代数幾何的枠組みを一般の非可換確率論へ拡張し、モーメントの普遍的畳み込み積がプロ・ユニポテンツ群スキームから生じることを示している。モーメント・カミュラントの公式が、同次的リー群上の対数および指数写像を介してバーガー＝キャンベル＝ハウスドルフ級数によって支配されることを確立し、カミュラントはユニポテンツ線形変換の下での不変性を持つことが示され、シャッフル Hopf代数がユニポテンツ群構造を符号化する普遍的役割を果たすことが強調されている。

ABSTRACT

Here we extend the algebro-geometric approach to free probability, started in~\cite{FMcK4,F14}, to general (non)-commutative probability theories. We show that any universal convolution product of moments of independent (non)-commutative random variables defined on a graded connected dual semi-group is given by a pro-unipotent group scheme. We show that moment-cumulant formulae have a natural interpretation within the theory of homogeneous Lie groups, which we generalise for the present purpose, and are given by the log and exp map, respectively. Finally, we briefly discuss the universal role of the shuffle Hopf algebra.

研究の動機と目的

• 自由確率論の代数幾何的アプローチを一般の非可換確率論理論へ一般化すること。
• モーメントの普遍的畳み込み積がプロ・ユニポテンツ群スキームによって支配されることを示すこと。
• モーメント・カミュラントの公式が、同次的リー群上の対数および指数写像を介してバーガー＝キャンベル＝ハウスドルフ級数から生じることを示すこと。
• シャッフル Hopf代数がユニポテンツ群スキームおよび冪零リー代数において果たす役割を明確化すること。

提案手法

• 非可換確率論における独立性をモデル化するため、コ群（双対半群）と普遍的積を用いる。
• 形式的群法則と滑らかな k-群を用いてモーメント畳み込みを表現し、実の同次的リー群を形式的群理論に埋め込む。
• バーガー＝キャンベル＝ハウスドルフ級数を、モーメントとカミュラントの間の変換の中心的メカニズムとして適用する。
• シャッフル Hopf代数（k⟨x₁,…,xₙ⟩, ⌢, Δᵇ）を用いてユニポテンツ群スキームをモデル化し、分解しないコプロダクトとシャッフル積を用いる。
• カミュラントが下三角ユニポテンツ線形変換の下でのみ不変であることが示され、ゲージ選択が必要となる。
• ボックス畳み込みが普遍的分解公式によりブール、単調、反単調成分に分解されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換確率論におけるモーメント・カミュラント双対性は、リー理論的構造を用いてどのように体系的に記述できるか？
• RQ2 バーガー＝キャンベル＝ハウスドルフ級数は、異なる独立性概念の下でモーメントとカミュラントを結ぶ際に果たす役割は何か？
• RQ3 プロ・ユニポテンツ群スキームは、非可換確率論における普遍的畳み込み積からどのように自然に生じるか？
• RQ4 シャッフル Hopf代数がユニポテンツ群スキームおよび冪零リー代数を符号化する意味で普遍的であるとは、どのような意味か？
• RQ5 自由確率論における R 変換が、プロ・ユニポテンツ群設定における BCH 級数による座標変換と同値であるのはなぜか？

主な発見

• モーメントの乗法的自由畳み込みは、定理 3.10 で形式化されたように、ブール、単調、反単調畳み込みの線形重ね合わせに加え、混合項を含んで分解される。
• ボックス畳み込みの形式的群法則は、|w|−1-同次多項式で与えられ、s ≥ 2 のとき非可換性が生じる。
• R 変換はモーメント群上の対数写像の微分に対応し、カミュラントとモーメントの間には下三角ユニポテンツ行列変換が関係する。
• 群同型写像 R|Gs⁺ は bV-畳み込み群を b-畳み込み群に写し、BCH 法則は下三角ユニポテンツ行列によって関係づけられる。
• シャッフル Hopf代数はユニポテンツ群スキームを普遍的に表現し、十分に大きな n に対して、任意の代数的ユニポテンツ群はそのヒープ理想を介した商として得られる。
• 自由確率論における乗法的畳み込み群の表現理論は、単位対角を持つ上三角行列により実現され、これはボレル部分群に対応する。