[論文レビュー] Homology and homotopy in semi-abelian categories

Tim Van der Linden|ArXiv.org|Jul 4, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非アーベルホモロジーおよびホモトピー論を統一する枠組みとして、半アーベル圏を確立し、ホフプの公式 やホッフシュライブ＝セルゼー列といった古典的結果を一般化する。半アーベル圏では、単体的対象および内部圏のホモロジーが良好に振る舞い、長短のホモロジー完全列が成り立ち、外部ホモトピーが対称でない場合でさえも、コシリンダ構成を用いて内部単体的ホモトピー関係が同値関係をなすことが示される。

ABSTRACT

The theory of abelian categories proved very useful, providing an axiomatic framework for homology and cohomology of modules over a ring and, in particular, of abelian groups. For many years, a similar categorical framework has been lacking for non-abelian (co)homology, the subject of which includes the categories of non-abelian groups, of rings, Lie algebras, etc. The notion of semi-abelian category due to Janelidze, Marki and Tholen allows a unified study of many important homological properties of such categories. For instance, in any semi-abelian category, the classical diagram lemmas (the Short Five Lemma, the 3x3 Lemma, the Snake Lemma, Noether's Isomorphism Theorems) hold. The point of this thesis is, that the semi-abelian framework is indeed perfectly suited for the study of non-abelian (co)homology and the corresponding homotopy theory. It describes the foundations for a categorical homology theory that unifies many basic aspects of the classical (co)homology theories of e.g., groups, Lie algebras and crossed modules. Starting from homology of (proper) chain complexes and of simplicial objects, a semi-abelian version of Barr-Beck cotriple homology is introduced. A systematic study of the theory of Baer invariants in this context yields categorical versions of Hopf's formula (describing the second homology object in terms of commutators) and the Stallings-Stammbach sequence. We obtain a Universal Coefficient Theorem, a version of the Hochschild-Serre sequence, and an interpretation of the second cohomology group in terms of isomorphism classes of central extensions. Also, Quillen model category structures for homotopy of simplicial objects and internal categories are studied, and are shown to be compatible with the respective semi-abelian notions of homology.

研究の動機と目的

• アーベル圏を超えた非アーベル (co)ホモロジーのための圏論的枠組みを提供すること。
• 半アーベル圏—点付き、バール正確、バウーンプロトモジュラー、二項余積を備えた—が、良好に振る舞うホモロジー理論を支持すること。
• ホフプの公式 やホッフシュライブ＝セルゼー列といった古典的結果を半アーベルな文脈に一般化すること。
• 半アーベル圏における単体的ホモトピーの振る舞いを調査すること、特に群のような圏では外部ホモトピーが対称でないという事実に注目すること。
• コシリンダを用いた内部ホモトピーが、外部ホモトピーが失敗する場合でさえも同値関係をなすことの確立

提案手法

• 準点付き、正確、プロトモジュラーな圏にチェーン複体の概念を拡張し、核と像の条件を用いてホモロジーを定義する。
• マリツェフ圏における任意の単体的対象に対して、モア複体構成を用いて適切なチェーン複体を関連付ける。
• 交換子理論およびベア不変量を用いて、ホフプの公式 およびスタリングス＝スタムバック列の一般化を構成する。
• 正則マリツェフ圏における像分解を用いて、単体的対象上のコシリンダ関手を導入し、内部ホモトピーを定義する。
• 面写像の余等化子を用いて内部ホモトピーを特徴づけ、∂0,…,∂n+1 の広義の余等化子を用いて ≃K が同値関係であることを示す。
• 半アーベル圏において、内部ホモトピー ≃K がホモロジー同値と一致することを証明する。ここで、η0(B)◦f0 = η0(B)◦g0 が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏を超えた圏的枠組みにおいて、非アーベルホモロジーを体系的に展開できるか？
• RQ2 外部ホモトピーが対称でない場合でも、半アーベル圏における内部単体的ホモトピー関係 ≃K が同値関係をなすか？
• RQ3 ホフプの公式 やホッフシュライブ＝セルゼー列といった古典的結果を半アーベル圏に一般化できるか？
• RQ4 モア複体構成は半アーベル圏においてどのように振る舞い、ホモロジーに何を明らかにするか？
• RQ5 半アーベル圏において、内部ホモトピー ≃K とホモロジー同値の関係は何か？

主な発見

• 半アーベル圏において、コシリンダを用いて定義される内部ホモトピー関係 ≃K は、外部単体的ホモトピーが対称でない場合でさえも同値関係をなす。
• 正則マリツェフ圏における任意の単体的写像 f, g に対して、f ≃K g であることは、η(B) ◦ f = η(B) ◦ g であることに同値であり、ここで η は面写像の余等化子である。
• 半アーベル圏において、f ≃K g であることは、H0f = H0g であることに同値であり、これはホモトピー同値とホモロジー同値が次数 0 で一致することを示す。
• 準点付き正確マリツェフ圏における単体的対象のモア複体は、常に適切なチェーン複体である。
• プロトモジュラー圏において、正規化関手 N: SA → PCh+A は正確であり、単体的対象の短完全系列が長完全ホモロジー系列を誘導することを保証する。
• 実際の応用では、内部ホモトピー関係 ≃K はあまりに弱いため、辺の端点を同一視することで単体的構造全体が崩れてしまう。