[論文レビュー] Homotopy L-infinity spaces

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、代数的・解析的・滑らか（スムーズ）な設定における導来幾何学のための新しい枠組みとして、コスタロの L-infinity 空間に局所的に従属する構造付き空間であるホモトピー L-infinity 空間を導入する。主な結果として、コンパクトな複素多様体上の固定された行列式をもつ複素ベクトル束の単純な正則構造のモジュライ空間が、自然な解析的ホモトピー L-infinity 擬似を持つことが示され、特異なモジュライ空間に潜む滑らかさを捕捉するホモロジー的拡張が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new class of structured spaces which is locally modeled by Costello's L-infinity spaces. This provides an alternative approach to study the derived geometric structures in the algebraic, analytic, or smooth category. Our main result asserts that on a compact complex manifold, the moduli space of simple holomorphic structures on a complex vector bundle with a fixed determinant bundle, admits a natural analytic homotopy L-infinity enhancement.

研究の動機と目的

• 導来幾何学のための新たな構造付き空間クラス、すなわちコスタロの L-infinity 空間に局所的に従属するホモトピー L-infinity 空間を構築すること。
• 代数的・解析的・滑らかなカテゴリーにおける導来幾何的構造の代替的アプローチを提供すること。
• 特異なモジュライ空間がコホモロジー的接複体を通じて滑らかに振る舞うという『隠れた滑らかさの原理』を L-infinity 代数を用いて形式化するホモトピー論的拡張を確立すること。
• コンパクトな複素多様体上での固定された行列式をもつ複素ベクトル束の単純な正則構造のモジュライ空間が、自然な解析的ホモトピー L-infinity 擬似を有することを証明すること。

提案手法

• 局所モデルとしてコスタロの L-infinity 空間形式を用い、可換代数の代わりに L-infinity 代数を基礎構造として採用する。
• 接複体がシフトされた Ext-複体であるという『隠れた滑らかさの原理』を適用し、そのコホモロジーが Ext 群を計算することを保証する。
• 組合せ的木型作用素と対称化を用いて、有界性が保証される複体 $ C(A, B ⊗ Ω_{Δ^\bullet}^*) $ を用いて単体的 $ L_∞ $ 代数を構成する。
• 装飾付き木に付随する作用素のオペラッド的合成を用いて $ L_∞ $ 構造を定義し、平面的実現と自己同型不変性を用いる。
• 単体的 $ L_∞ $ 代数のカーン複体性を用いて、ホーンの埋め込みを構成し、有界な圏内での持ち上げの存在を保証する。
• 装飾付き木の和を含む非帰納的公式を用いて Maurer-Cartan 要素を定義し、構造の有界性と適切な定義を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則バンドルのモジュライ空間に、可換代数の代わりに L-infinity 代数を用いて導来幾何的構造を構築することは可能か？
• RQ2 固定された行列式をもつ複素ベクトル束の単純な正則構造のモジュライ空間は、解析的カテゴリーにおいてホモトピー論的拡張を有するか？
• RQ3 特異なモジュライ空間がコホモロジー的接複体を通じて滑らかに振る舞うという『隠れた滑らかさの原理』を、$ L_∞ $ 構造を用いてどのように形式化できるか？
• RQ4 このようなモジュライ空間の導来構造を、特にコンパクトな複素多様体上において、解析的 $ L_∞ $ 空間に拡張することは可能か？
• RQ5 単体的 $ L_∞ $ 代数と有界な Maurer-Cartan 要素は、このような拡張を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• コンパクトな複素多様体上での固定された行列式をもつ複素ベクトル束の単純な正則構造のモジュライ空間は、自然な解析的ホモトピー L-infinity 擬似を有する。
• この擬似は、$ C(A, B ⊗ Ω_{Δ^\bullet}^*) $ 上の単体的 $ L_∞ $ 代数構造を用いて構成され、それがカーンかつ有界であることが示された。
• Maurer-Cartan 要素は、装飾付き木の和を含む非帰納的公式により定義され、係数は対称化と自己同型因子によって決定される。
• L-infinity 構造の有界性は、基礎となる作用素の有界性と木の数の指数的制御に起因する。
• この構成により、単体的集合におけるホーンの埋め込みが有界な圏内で存在することが保証され、カーン性が証明され、拡張が可能になる。
• この枠組みは、dg スキームや導来代数幾何学で用いられる可換代数とは双対的な、L-infinity 代数を局所モデルとして用いる、導来幾何学の新たな代替的アプローチを提供する。