[論文レビュー] How hard is the tensor rank?

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 32被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、任意の整域上でのテンソルランクの計算が、その整域上で多項式方程式系を解くことと多項式時間同等であることを確立し、長年の未解決問題を解決した。整域 ℤ 上でのテンソルランクは決定不能であることを証明し、ℚ 上での対称テンソルランクはNP困難であることを示し、テンソルランクおよび最小ランク行列補完問題などの関連問題に対する完全な複雑性特徴付けを提供した。

ABSTRACT

We investigate the computational complexity of tensor rank, a concept that plays fundamental role in different topics of modern applied mathematics. For tensors over any integral domain, we prove that the rank problem is polynomial time equivalent to solving a system of polynomial equations over this integral domain. Our result gives a complete description of the algorithmic complexity of tensor rank and allows one to solve several known open problems. In particular, the tensor rank over $\mathbb{Z}$ turns out to be undecidable, which answers the question posed by Gonzalez and Ja'Ja' in 1980. We generalize our result and prove that the symmetric rank admits a similar description of computational complexity as the one we give for usual rank. In particular, computing the symmetric rank of a rational tensor is shown to be NP-hard, which proves a recent conjecture of Hillar and Lim. As a byproduct of our approach, we get a similar characterization of the algorithmic complexity of the minimal rank matrix completion problem, which gives a complete answer to the question discussed in 1999 by Buss, Frandsen, and Shallit.

研究の動機と目的

• 任意の整域上でのテンソルランクの計算複雑性を完全に特徴付けること。
• 1980年に GonzalezとJa’Ja’が提起した、整域 ℤ 上でのテンソルランクが決定可能かどうかという長年の未解決問題を否定的に解明すること。
• 複雑性特徴付けを対称テンソルランクに拡張し、有理数上の対称テンソルのNP困難性を証明すること。
• 最小ランク行列補完問題が多項式方程式系の解法と同一のアルゴリズム的複雑性を持つことを示すこと。
• 計算複雑性理論の枠組みの下で、既存のテンソルランク、対称ランク、行列補完に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 与えられた整域 R 上でのテンソルランク問題を、R 上の多項式方程式系の解の存在を決定することに還元する。
• 任意の拡張 S に対して、与えられた多項式方程式系が S に解を持つことと、R 上のテンソル T のランクが S 上で r 以下であることとが同値となるようなテンソル T を R 上に構成する。
• 単項式変換と対称分解を用いて、体拡張の下でもランク不変量を保つ。
• 横断的構成と対称テンソル分解を用いた還元技術により、対称ランクを行列ランクで上から抑え込む。
• 体埋め込みと有理関数体を用いて、サイズが 9 以上の有限体上で解をシミュレートし、有効な分解の存在を保証する。
• 体のサイズ制約の下で、分母がゼロにならない有理関数分解を用いて、対称ランクが関数体上でのランク1分解によって上から抑えられることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数上でのテンソルランク問題は決定可能か？
• RQ2 有理数テンソルの対称テンソルランクを計算する際の正確な計算複雑性は何か？
• RQ3 テンソルランクの複雑性は、多項式方程式系の可解性とどのように関係するか？
• RQ4 最小ランク行列補完問題は多項式方程式系の解法の観点から特徴付けられるか？
• RQ5 テンソルのランクは係数環や体拡張の選択に依存するか？

主な発見

• 任意の整域 R 上でのテンソルランクは、R 上の多項式方程式系の解の存在を決定することと多項式時間同等である。
• 整域 ℤ 上でのテンソルランクは決定不能であり、1980年に GonzalezとJa’Ja’が提起した未解決問題を否定的に解決した。
• 有理数上での対称テンソルランクはNP困難であり、HillarとLimによる最近の予想を確認した。
• 最小ランク行列補完問題のアルゴリズム的複雑性は、多項式方程式系の解法と同一であり、1999年にBuss、Frandsen、Shallitが提起した問いに答えを提示した。
• サイズが 9 以上の任意の体 F に対して、テンソルの対称ランクは分母がゼロにならない有理関数分解を用いて上から抑え込める。
• 体のサイズ制約の下では、テンソル T の関連行列のランクに次元の二次項を加えたもので、T の対称ランクが上から抑えられる。