[論文レビュー] How Riemannian Manifolds Converge: A Survey

Christina Sormani|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 54被引用数 5

ひとこと要約

このサーベイは、リーマン多様体の外在的および内在的収束概念について、包括的で直感的な概説を提供している。ユークリッド空間におけるハウスドルフ収束、平坦収束、バーフィールド収束をカバーし、抽象的リーマン多様体におけるグロモフ＝ハウスドルフ収束、測度付き距離空間、内在的フラット収束、超極限収束を含む。内在的バーフィールド収束、ループ空間による面積収束、ローレンツ多様体の収束についての推測的枠組みを提案し、幾何解析および一般相対性理論への応用を強調している。

ABSTRACT

This is an intuitive survey of extrinsic and intrinsic notions of convergence of manifolds complete with pictures of key examples and a discussion of the properties associated with each notion. We begin with a description of three extrinsic notions which have been applied to study sequences of submanifolds in Euclidean space: Hausdorff convergence of sets, flat convergence of integral currents, and weak convergence of varifolds. We next describe a variety of intrinsic notions of convergence which have been applied to study sequences of compact Riemannian manifolds: Gromov-Hausdorff convergence of metric spaces, convergence of metric measure spaces, Instrinsic Flat convergence of integral current spaces, and ultralimits of metric spaces. We close with a speculative section addressing possible notions of intrinsic varifold convergence, convergence of Lorentzian manifolds and area convergence.

研究の動機と目的

• リーマン多様体の外在的および内在的収束概念について、アクセス可能で直感的なサーベイを提供すること。
• 各収束タイプにおける保存または喪失される幾何的性質を強調すること。
• 未解決問題を特定し、特に内在的バーフィールド収束および面積収束のための新たな方向性を提案すること。
• 一般相対性理論への応用を念頭に、収束概念をローレンツ幾何に拡張する可能性を検討すること。
• メトリック空間およびリーマン空間の収束理論に関する基礎的リソースと最近の発展を研究者に導くこと。

提案手法

• 直感的な図解と主要な例を用いて、外在的収束（ハウスドルフ距離、整数的カレントの平坦収束、バーフィールドの弱収束）を説明する。
• メトリック空間のグロモフ＝ハウスドルフ収束、測度付き距離空間の収束、整数的カレント空間上の内在的フラット収束、超極限を用いた内在的収束を導入する。
• リーマン多様体と関連するループ空間 Ω(M_j) の点付きグロモフ＝ハウスドルフ収束または超極限収束を研究することにより、面積収束の新しいアプローチを提案する。
• 面積を保存する全射による同値類としての面積空間を定義し、ループ空間の極限に基づくコンパクト性理論の構築を狙う。
• グロモフ＝ハウスドルフおよび内在的フラット収束をローレンツ多様体に拡張する可能性を検討し、一般相対性理論における安定性の問題に動機を与える。
• フェデラー、フラミング、アルムグレーヌ、グロモフ、ブルガ、イワノフらの基礎的結果に依拠し、さらに学習するための主要な論文と教科書を引用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間に埋め込まれていないリーマン多様体に対して、外在的収束概念（例：バーフィールド収束）の内在的類似物をどのように定義できるか？
• RQ2 ループ空間とループ上の平坦距離を用いて、リーマン多様体における「面積収束」の概念を厳密に定義できるか？
• RQ3 特に曲率の上限がある条件下で、超極限または内在的フラット収束において何が保存されるか？
• RQ4 グロモフ＝ハウスドルフまたは内在的フラット収束をどのようにローレンツ多様体に適応し、時空の安定性を研究できるか？
• RQ5 提案された面積収束構造の下で、リーマン多様体の列に対するコンパクト性定理は存在するか？

主な発見

• ハウスドルフ収束は凸性を保存するが、長さや微分可能性は保存しない。鋸歯状の曲線が直線に収束する例や、トーラスが円に収束する例がこれに当たる。
• 整数的カレントの平坦収束は質量を保存し、極小曲面論に有用である。一方、バーフィールド収束は平均曲率フローに有効である。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束はメトリック空間間の距離の内在的定義を提供し、リーマン多様体の極限を研究する上で基盤的である。
• 整数的カレント空間上の内在的フラット収束は、極限が必ずしも多様体でない場合を許容し、体積および面積の上限を調べるのに有用である。
• 超極限は最も弱い形の収束であり、非コンパクトまたは特異な極限空間におけるコンパクト性の議論に有用である。
• 初期の結果は、等長なループ空間 Ω(M) が等長なリーマン多様体 M を意味することを示唆しており、ループ空間の極限が面積を含む内在的幾何を捉える可能性があるという考えを支持している。