[論文レビュー] Hyperball packings in hyperbolic $3$-space

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Supramolecular Self-Assembly in Materials参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Coxeter群[3,3,7]から導かれる切断正四面体を用いて、3次元双曲空間における超球体充填を調査する。正則な切断正四面体内の局所的密度を分析することで、密度 ≈0.86338 の局所的に最適な超球体充填を同定するが、これは球体およびアーモニック球体のBöröczky-Florian上限を上回るが、グローバルに拡張することはできない。この結果により、双曲3次元空間における超球体充填の新たな局所的密度記録が確立される。

ABSTRACT

In earlier works \cite{Sz06-1}, \cite{Sz06-2}, \cite{Sz13-3} and \cite{Sz13-4} we have investigated the densest packings and the least dense coverings by congruent hyperballs (hyperspheres) to the regular prism tilings in $n$-dimensional hyperbolic space $\HYN$ ($ 3 \le n \in \mathbb{N})$. In this paper we study a large class of hyperball (hypersphere) packings in $3$-dimensional hyperbolic space that can be derived from truncated simplex tilings (e.g. \cite{S14}, \cite{MPSz}). It is clear, that in order to get a density upper bound for the above hyperball packings, it is sufficient to determine the density upper bound locally, e.g. in truncated simplices. Thus we study hyperball packings in truncated simplices, i.e. truncated tetrahedra and prove that if the truncated tetrahedron is regular, then the density of the densest packing is $\approx 0.86338$. This is larger than the Böröczky-Florian density upper bound for balls and horoballs (horospheres) \cite{B--F64} but our locally optimal hyperball packing configuration cannot be extended to the entirety of hyperbolic space $\mathbb{H}^3$. But our regular truncated tetrahedron construction, under the extended Coxeter group $[3, 3, 7]$ with top density $\approx 0.82251$, seems to be good enough (Table 1). Moreover, we show that the densest known hyperball packing, related to the regular $p$-gonal prism tilings \cite{Sz06-1}, can dually be realized by regular truncated tetrahedron tilings as well.

研究の動機と目的

• 双曲3次元空間内の正則な切断正四面体内における合同な超球体充填の最大局所的密度を特定すること。
• このような局所的に高密度な配置が、双曲3次元空間全体の充填に拡張可能かどうかを調査すること。
• 超球体充填に関して、正則なピラミッドタイルと切断正四面体タイルの間に双対性を確立すること。
• 新しい超球体充填密度を、球体およびアーモニック球体のBöröczky-Florian上限と比較すること。

提案手法

• 双曲3次元空間の射影的モデルをLorentz空間R^{1,3}に用いて、超球体および切断正四面体を表現する。
• 拡張されたCoxeter群[3,3,7]を用いて、基本領域として正則な切断正四面体を生成する。
• 双曲幾何学の公式を用いて超球体体積および切断正四面体体積を計算し、計量データとして行列(c^{ij})を用いる。
• パラメータp > 6を用いて切断正四面体の形状を表す関数δ(𝒮ʳ(h(p)))として密度関数を導出する。
• 微分法を用いて滑らかな密度関数の最大値を特定し、p_opt ≈ 6.13499 を同定する。
• 共通の頂点図形および基本領域を通じて、[p,3,3]ピラミッドタイルと[3,3,p]切断正四面体タイルの間の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲3次元空間内の正則な切断正四面体内における合同な超球体充填の最大局所的密度は何か？
• RQ2 切断正四面体内での局所的に最適な超球体充填配置は、双曲3次元空間全体の充填に拡張可能か？
• RQ3 新しい超球体充填の密度は、球体およびアーモニック球体のBöröczky-Florian上限と比べてどうなるか？
• RQ4 双曲3次元空間における正則なピラミッドタイルと切断正四面体タイルの間には、超球体充填に関してどのような関係があるか？
• RQ5 切断正四面体内での超球体充填の密度は、既知の球体およびアーモニック球体の上限を超えるか？

主な発見

• 双曲3次元空間内の正則な切断正四面体内における超球体充填の最大局所的密度は約0.86338である。
• この密度は、球体およびアーモニック球体のBöröczky-Florian上限 ≈0.85328 を上回る。
• 密度関数δ(𝒮ʳ(h(p)))が最大値に達するのはp_opt ≈ 6.13499 のときである。
• 局所的に最適な超球体充填は、双曲3次元空間全体に拡張できない。
• 正則p角柱タイルによる最密な既知の超球体充填は、双対的に正則な切断正四面体タイルとして実現可能である。
• pが増加するにつれて、最適密度は単調に減少し、p → ∞ で0に近づく。