[論文レビュー] Hyperbolic complex numbers in two dimensions

Silviu Olariu|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$ u = x + \bar{\rho}y $ で定義される2次元の可換な双曲的複素数体系を導入し、$ \bar{\rho}^2 = 1 $ を満たす。この体系により指数関数的・三角関数的表現が可能となり、解析関数論および経路に依存しない contour 積分が可能となる。主な貢献は、複素解析に類似した関数論を双曲的複素変数に対して構築したことである。解析関数は波動型のコーシー・リーマン関係を満たし、多項式は一次または二次の因数に分解可能であるが、因数分解は一意的ではない。

ABSTRACT

A system of commutative hyperbolic complex numbers in 2 dimensions is studied in this paper. Exponential and trigonometric forms are obtained for these hyperbolic twocomplex numbers. Expressions are given for the elementary functions of hyperbolic twocomplex variable. The functions of a hyperbolic twocomplex variable which are defined by power series are analytic. Relations of equality exist between partial derivatives of the real components a function of a hyperbolic twocomplex variable. The integral of a twocomplex function between two points is independent of the path connecting the points. A hyperbolic twocomplex polynomial can be written as a product of linear or quadratic factors, although the factorization may not be unique.

研究の動機と目的

• 可換かつ結合的乗法を持つ2次元のハイパーコンプレックス数体系を構築し、複素解析に類似した関数論を可能にする。
• 通常の複素数の極座標形に類似した、双曲的複素数の指数関数的・三角関数的表現を定義する。
• 実部成分間の偏微分関係を用いて、双曲的複素変数関数が解析的であるための条件を確立する。
• 関数が正則である領域において、双曲的複素関数の contour 積分が経路に依存しないことを示す。
• 双曲的複素多項式の因数分解を検討し、実係数を用いた一次または二次因数の積として表現可能であることを示すが、一意的ではない。

提案手法

• 双曲的複素数を $ u = x + \bar{\rho}y $ と定義し、$ \bar{\rho}^2 = 1 $ を満たす。成分ごとの演算規則により代数的演算を確立：$ (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') $、$ (x,y)(x',y') = (xx'+yy', xy'+yx') $。
• 指数関数的表現 $ u = \rho \text{exp}(\bar{\rho}\theta/2) $ を導出。$ x+y > 0 $、$ x-y > 0 $ の条件下で、振幅 $ \rho = (x^2 - y^2)^{1/2} $、偏角 $ \theta = \text{ln}(\tan \theta) $、$ \tan \theta = (x+y)/(x-y) $ を用いる。
• 双曲的複素変数の初等関数をべき級数を用いて定義し、収束領域は直線 $ x = \bar{\rho}y $ に沿った長方形である。
• 微分が方向に依存しないことにより解析性を確立し、偏微分関係 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} $、$ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} $ を導出。ここで $ f(u) = P(x,y) + \bar{\rho}Q(x,y) $ である。
• ストークスの定理を用いて、$ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} = 0 $ および $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} = 0 $ の条件下で、積分 $ \textstyle\bigcirc_{\text{A}}^{\text{B}} f(u) du $ が経路に依存しないことを証明。
• 変換 $ TUT^{-1} = \text{diag}(x+y, x-y) $ を用いて、双曲的複素数を既約な実行列で表現。実行列表現を提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換かつ結合的である2次元ハイパーコンプレックス数体系を構築可能か。この体系は指数関数的表現と、複素数に類似した解析関数論を備えているか。
• RQ2 べき級数で定義される双曲的複素変数関数は解析的であるか。その実部成分が満たすべき微分的条件は何か。
• RQ3 正則領域において、双曲的複素関数の contour 積分は経路に依存しないか。
• RQ4 標準的複素平面における多項式の因数分解と比較して、双曲的複素平面における多項式の因数分解はどのように異なるか。一意的か。
• RQ5 双曲的複素数は実行列で表現可能か。その表現の構造は何か。

主な発見

• 双曲的複素数体系 $ u = x + \bar{\rho}y $、$ \bar{\rho}^2 = 1 $ は、指数関数的表現 $ u = \rho \text{exp}(\bar{\rho}\theta/2) $ を有する。ここで $ \rho = (x^2 - y^2)^{1/2} $、$ \theta = \text{ln}(\tan \theta) $、$ \tan \theta = (x+y)/(x-y) $ であり、$ x+y > 0 $、$ x-y > 0 $ の範囲で有効である。
• 双曲的複素変数の初等関数はべき級数により定義され、収束領域は直線 $ x = \bar{\rho}y $ に沿った長方形である。
• 解析関数 $ f(u) = P(x,y) + \bar{\rho}Q(x,y) $ は偏微分関係 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} $ および $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} $ を満たし、$ P $ と $ Q $ が2次元波動方程式を満たすことを示唆する。
• 関数が正則である単連結領域において、双曲的複素関数の contour 積分は経路に依存しない。ストークスの定理を用い、$ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} $ および $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} $ の消滅を示した。
• 双曲的複素多項式は、実係数を用いた一次または二次因数の積に因数分解可能であるが、$ v_+ $ および $ v_- $ 成分における根の順序が任意であるため、因数分解は一意的ではない。
• 変換 $ TUT^{-1} = \text{diag}(x+y, x-y) $ を用いて、実行列表現が可能である。これにより、双曲的複素数の既約な実行列表現が得られる。