[论文解读] Hyperbolic measure of maximal entropy for generic rational maps of P^k

Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文在 $ s $-阶动力度量 $ \lambda_s(f) $ 严格大于其他所有度量时，建立了 $ \mathbb{P}^k $ 上通用有理映射的双曲测度最大熵的存在性。通过超势能与光滑当前的逼近，作者为 $ f \circ A $ 构造了测度 $ \nu^\prime = \pi_* (\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-) $，其中 $ A $ 属于一个极大数据集之外，证明该测度具有熵 $ \log \lambda_s(f) $ 且具有完全双曲性，将已知结果推广至非双射映射。

ABSTRACT

Let f be a dominant rational map of P^k such that there exists s lambda_l(f) for all l. Under mild hypotheses, we show that, for A outside a pluripolar set of the group of automorphisms of P^k, the map f o A admits a hyperbolic measure of maximal entropy log(lambda_s(f)) with explicit bounds on the Lyapunov exponents. In particular, the result is true for polynomial maps hence for the homogeneous extension of f to P^{k+1}. This provides many examples where non uniform hyperbolic dynamics is established. One of the key tools is to approximate the graph of a meromorphic function by a smooth positive closed current. This allows us to do all the computations in a smooth setting, using super-potentials theory to pass to the limit.

研究动机与目标

• 在 $ s $-阶动力度量 $ \lambda_s(f) $ 严格主导所有其他度量时，建立 $ \mathbb{P}^k $ 上有理映射的双曲最大熵测度的存在性。
• 将先前针对双射映射与多项式类似映射的结果推广至无代数稳定性或特定奇点集维度限制的一般有理映射。
• 证明对于 $ \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^k) $ 中属于极大数据集之外的通用小扰动 $ f \circ A $，此类测度存在。
• 通过超势能与当前逼近方法，为处理解析动力系统中的奇点提供一个构造性框架。

提出的方法

• 通过一个爆破构造 $ \pi: \mathbb{P}^{k+1} \to \mathbb{P}^k $，将解析映射 $ f $ 的图近似为一个光滑的正的闭当前。
• 在 $ \mathbb{P}^{k+1} $ 上定义提升映射 $ \widetilde{f} $，并构造 $ \widetilde{f} $ 的格林当前 $ \widetilde{T}_1^+ $ 与 $ \widetilde{T}_{k-s}^- $，假设其可进行楔积。
• 使用前推 $ \pi_* $ 将当前 $ \widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^- $ 提升回 $ \mathbb{P}^k $，从而得到候选测度 $ \nu^\prime $。
• 应用 De Thélin 定理于准势能，证明 $ \nu^{\prime} $ 可积 $ \log \mathrm{dist}(\cdot, I) $，从而表明其具有双曲性。
• 利用 Hartogs 收敛性，证明 $ \nu^\prime $ 可表示为光滑当前 $ \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (f^n)^* (\omega^s) \wedge \pi_* (\cdots) $ 的极限，确保其不变性与熵的计算。
• 将 $ \nu^\prime $ 与更规则的当前 $ T_s^+ \wedge T_s^- $ 进行比较，证明 $ \nu $ 比 $ \nu^\prime $ 具有更高的 H-正则性，从而支持熵与双曲性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对所有 $ l \neq s $ 有 $ \lambda_s(f) > \lambda_l(f) $ 时，$ \mathbb{P}^k $ 上通用有理映射是否存在双曲最大熵测度？
• RQ2 该测度的构造能否从双射或多项式类似映射推广至无奇点集维度限制的一般有理映射？
• RQ3 在存在奇点的情况下，是否可通过光滑当前逼近与超势能理论构造该测度？
• RQ4 对于 $ A $ 为通用的 $ f \circ A $ 构造的测度 $ \nu^\prime $，其熵是否恰好为 $ \log \lambda_s(f) $ 且具有完全双曲性？
• RQ5 能否通过证明 $ \nu^\prime = \nu $ 来确立最大熵测度的唯一性？

主要发现

• 当 $ A $ 属于 $ \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^k) $ 的极大数据集之外时，映射 $ f \circ A $ 具有熵为 $ \log \lambda_s(f) $ 的双曲最大熵测度。
• 测度 $ \nu^\prime = \pi_* (\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-) $ 关于 $ f $ 不变，且熵为 $ \log \lambda_s(f) $，该结论通过相对熵估计与 Gromov 的论证方法得到验证。
• 由于 De Thélin 定理应用于提升动力系统，测度 $ \nu^\prime $ 可积 $ \log \mathrm{dist}(\cdot, I) $，因此具有双曲性。
• 该构造依赖于通过爆破与提升将奇异当前 $ T_s^+ \wedge T_s^- $ 近似为光滑当前，从而使得超势能理论得以应用。
• 极限 $ \nu^\prime = \lim_{n \to \infty} \pi_* \left( \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (\widetilde{f}^n)^* (\Omega_{s+1}) \wedge \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (\widetilde{f}^n)_* (\Omega_{k-s}) \right) $ 在 Hartogs 意义下收敛，确保了不变性。
• 测度 $ \nu = T_s^+ \wedge T_s^- $ 比 $ \nu^\prime $ 具有更高的 H-正则性，应用文献 [4] 中的定理 4.2 与推论 3 可确认其熵与双曲性。