[論文レビュー] Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces

François Dahmani, Vincent Guirardel+1 more|Nov 30, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 132被引用数 184

ひとこと要約

本稿は、双曲空間に作用する群を研究するための統一的枠組みとして、双曲的埋め込み部分群と非常に回転する族を導入する。これは、相対的双曲性および小キャンセレーション理論を一般化するものであり、写像類群、Out(Fₙ)、クレモナ群、CAT(0)群においてこのような構造が自然に生じることを確立している。非退化な双曲的埋め込み部分群が、非自明な双曲的作用およびMonod–ShalomのクラスC_regに属することを示し、写像類群における未解決問題を解消するとともに、新たな群のクラスへと結果を拡張する。

ABSTRACT

We introduce and study the notions of hyperbolically embedded and very rotating families of subgroups. The former notion can be thought of as a generalization of the peripheral structure of a relatively hyperbolic group, while the later one provides a natural framework for developing a geometric version of small cancellation theory. Examples of such families naturally occur in groups acting on hyperbolic spaces including hyperbolic and relatively hyperbolic groups, mapping class groups, $Out(F_n)$, and the Cremona group. Other examples can be found among groups acting geometrically on $CAT(0)$ spaces, fundamental groups of graphs of groups, etc. We obtain a number of general results about rotating families and hyperbolically embedded subgroups; although our technique applies to a wide class of groups, it is capable of producing new results even for well-studied particular classes. For instance, we solve two open problems about mapping class groups, and obtain some results which are new even for relatively hyperbolic groups.

研究の動機と目的

• 従来の相対的双曲性を超える、双曲空間に作用する群を統一的に研究するための枠組みを構築すること。
• 非常に回転する部分群族の概念を用いて、小キャンセレーション理論を一般化すること。
• 部分群が群の中でどのように双曲的埋め込みされているかを、その作用の幾何学的および力学的性質に基づいて特定する条件を確立すること。
• 新しい枠組みを用いて、写像類群およびOut(Fₙ)における未解決問題を解消すること。
• 双曲的埋め込み部分群と非自明な双曲的作用との関係を明らかにし、そのような群の推測的特徴付けに至ること。

提案手法

• Bestvina, Bromberg, および Fujiwara の射影複体を用いて、双曲的埋め込み部分群を構成する。
• Gromov の双曲的コーン・オフ構成を用いて、回転族およびその作用を分析する。
• 双曲的空間内での軌道の幾何的分離性と準凸性を用いて、双曲的埋め込み部分群を定義する。
• 小キャンセレーションの力学的アナロジーとして「非常に回転する族」を導入し、風車構成とグリーンドルガー型補題を用いる。
• 図形の手術技法を用いて、回転族の文脈におけるデーン・フィリング結果を証明する。
• 幾何的分離性と等周不等式の相互作用を用いて、構造的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群が双曲空間に作用するとき、どのような幾何的および力学的条件下で部分群が双曲的埋め込みされるか？
• RQ2 非常に回転する族は、相対的双曲的でない群に対しても適用可能な小キャンセレーション理論の幾何的版を提供できるか？
• RQ3 非退化な双曲的埋め込み部分群をもつすべての群は、非自明な双曲的空間への非自明な双曲的作用をもつのか？
• RQ4 写像類群およびOut(Fₙ)に対して、双曲的埋め込み部分群から新たな構造的結果が得られるか？
• RQ5 双曲的埋め込み部分群とMonod–ShalomのクラスC_regとの正確な関係は何か？

主な発見

• 写像類群、Out(Fₙ)、クレモナ群、グラフの群の基本群において、双曲的埋め込み部分群が存在する。
• 非退化な双曲的埋め込み部分群の存在は、群がMonod–ShalomのクラスC_regに属することを意味する。
• 非常に回転する族は、無限位数の元の正規部分群が、双曲的作用において大きな移動長をもつ場合に自然に生じる。
• 本稿は、写像類群の構造に関する2つの未解決問題を、双曲的埋め込み部分群の理論を用いて解消する。
• 非退化な双曲的埋め込み部分群をもつ群は、非自明な双曲的空間への非自明な双曲的作用をもつことが示され、そのような群の推測的特徴付けを支持する。
• 本枠組みにより、双曲群および相対的双曲群に対する既知の結果を一様に再証明でき、より広い群のクラスにおいて新たな結果を得られる。