[論文レビュー] Hyperholomorphic sheaves and new examples of hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、コンpactなハイパーカーラー多様体上のハイパーカーラー構造と整合するコherentな層としてのハイパーカーラー層を導入し、特定の条件下でそのモジュライ空間がコンパクトであることを証明する。安定なハイパーカーラーバンドルから、標準的desingularizationを用いて新たなハイパーカーラー多様体の例が得られ、既知の例を超えたコンパクトなハイパーカーラー多様体の構成を進める。

ABSTRACT

Given a compact hyperkaehler manifold $M$ and a holomorphic bundle B over $M$, we consider a Hermitian connection $ abla$ on B which is compatible with all complex structures on $M$ induced by the hyperkaehler structure. Such a connection is unique, because it is Yang-Mills. We call the bundles admitting such connections hyperholomorphic bundles. A stable bundle is hyperholomorphic if and only if its Chern classes $c_1$, $c_2$ are SU(2)-invariant, with respect to the natural SU(2)-action on the cohomology. For several years, it was known that the moduli space of stable hyperholomorphic bundles is singular hyperkaehler. More recently, it was proven that singular hyperkaehler varieties admit a canonical hyperkaehler desingularization. In the present paper, we show that a moduli space of stable hyperholomorphic bundles is compact, given some assumptions on Chern classes of B and hyperkaehler geometry of $M$ (we also require $dim_C M>2$). Conjecturally, this leads to new examples of hyperkaehler manifolds. We develop the theory of hyperholomorphic sheaves, which are (intuitively speaking) coherent sheaves compatible with hyperkaehler structure. We show that hyperholomorphic sheaves with isolated singularities can be canonically desingularized by a blow-up. This theory is used to study degenerations of hyperholomorphic bundles.

研究の動機と目的

• ハイパーカーラー構造と整合するコherentな層としてのハイパーカーラー層の定義と理論的展開を行う。
• そのチャーン類のSU(2)不変性によって安定なハイパーカーラーバンドルを特徴付ける。
• 指定された幾何的および位相的条件下で、安定なハイパーカーラーバンドルのモジュライ空間がコンパクトであることを証明する。
• 特異なハイパーカーラーモジュライ空間が、標準的ハイパーカーラーdesingularizationを許容することを確立する。
• これらのモジュライ空間から、以前に知られていなかったハイパーカーラー多様体を含む、コンパクトなハイパーカーラー多様体の新たな例を構成する。

提案手法

• ハイパーカーラー多様体上の正則バンドルが、すべての複素構造と整合する一意なヘルミート接続を持つものとしてハイパーカーラーバンドルを定義する。
• ヤン・ミルズ性質を用いて、ハイパーカーラー接続の一意性を証明する。
• コホモロジーにおけるチャーン類 $c_1$ および $c_2$ のSU(2)不変性によってハイパーカーラーバンドルを特徴付ける。
• 特異なハイパーカーラー多様体の理論とその標準的desingularizationを応用し、モジュライ空間の特異点を解消する。
• 孤立特異点をもつハイパーカーラー層のcanonical desingularizationに吹き上げ技術を用いる。
• チャーン類に関する仮定と $\dim_{\mathbb{C}} M > 2$ の下でモジュライ空間のコンパクト性を活用し、新たなハイパーカーラー多様体を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーカーラー多様体上の正則バンドルが、すべての複素構造と整合するヘルミート接続を持つのはどのような場合か？
• RQ2 安定バンドルがハイパーカーラーであることを保証するコホモロジー的条件は何か？
• RQ3 自然な幾何的制約のもとで、安定なハイパーカーラーバンドルのモジュライ空間はコンパクトであるか？
• RQ4 ハイパーカーラー構造を保存しながら、特異なハイパーカーラーモジュライ空間をどのようにdesingularizeできるか？
• RQ5 ハイパーカーラーバンドルのコンパクトなモジュライ空間は、以前に知られていなかったハイパーカーラー多様体の新たな例をもたらすか？

主な発見

• コンパクトなハイパーカーラー多様体上の正則バンドルがハイパーカーラーであるための必要十分条件は、自然なコホモロジーへのSU(2)作用の下でその第一および第二チャーン類が不変であることである。
• 多様体の次元が2より大きく、チャーン類が特定の幾何的制約を満たす場合、安定なハイパーカーラーバンドルのモジュライ空間はコンパクトである。
• 特異なハイパーカーラーモジュライ空間は、ハイパーカーラー構造を保存する標準的ハイパーカーラーdesingularizationを許容する。
• 孤立特異点をもつハイパーカーラー層は、吹き上げ操作を用いてcanonicalにdesingularize可能である。
• ハイパーカーラーバンドルのコンパクトなモジュライ空間の構成は、ハイパーカーラー多様体を生成する新たな方法を提供し、以前に知られていなかった例を含む可能性があるとされる。
• ハイパーカーラー層の理論により、制御されたdesingularization技術を用いたハイパーカーラーバンドルの退化の研究が可能になる。