[論文レビュー] Implications of quantum automata for contextuality

Jibran Rashid, Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ゼロエラー量子有限オートマトン（QFA）が、ペレス＝マーティンの魔方陣の変種を含む特定のプロミス問題を、無限記憶を備えた任意の有界誤差古典的有限オートマトンよりも指数的に高い効率で解けることを示している。主な貢献は、1キュービットの量子オートマトンが、有限記憶の古典的モデルではシミュレートできない非局所性を示すことができることを証明し、量子非局所性の計算的証拠を提供することにある。

ABSTRACT

We construct zero-error quantum finite automata (QFAs) for promise problems which cannot be solved by bounded-error probabilistic finite automata (PFAs). Here is a summary of our results: - There is a promise problem solvable by an exact two-way QFA in exponential expected time, but not by any bounded-error sublogarithmic space probabilistic Turing machine (PTM). - There is a promise problem solvable by an exact two-way QFA in quadratic expected time, but not by any bounded-error $ o(\log \log n) $-space PTMs in polynomial expected time. The same problem can be solvable by a one-way Las Vegas (or exact two-way) QFA with quantum head in linear (expected) time. - There is a promise problem solvable by a Las Vegas realtime QFA, but not by any bounded-error realtime PFA. The same problem can be solvable by an exact two-way QFA in linear expected time but not by any exact two-way PFA. - There is a family of promise problems such that each promise problem can be solvable by a two-state exact realtime QFAs, but, there is no such bound on the number of states of realtime bounded-error PFAs solving the members this family. Our results imply that there exist zero-error quantum computational devices with a \emph{single qubit} of memory that cannot be simulated by any finite memory classical computational model. This provides a computational perspective on results regarding ontological theories of quantum mechanics \cite{Hardy04}, \cite{Montina08}. As a consequence we find that classical automata based simulation models \cite{Kleinmann11}, \cite{Blasiak13} are not sufficiently powerful to simulate quantum contextuality. We conclude by highlighting the interplay between results from automata models and their application to developing a general framework for quantum contextuality.

研究の動機と目的

• 量子非局所性の文脈において、量子と古典的有限オートマトンの間の計算分離を確立すること。
• ゼロエラー量子有限オートマトンが1キュービットで動作する場合、有界誤差古典的オートマトンで解けないプロミス問題を解くことができることを示すこと。
• 古典的シミュレーションモデルが非局所性を模倣するには指数的記憶が必要であり、オートマトン理論と基礎的量子力学を結びつける証拠を提供すること。
• このような分離が、隠れ変数理論や量子非局所性のシミュレーションに与える影響を検討すること。

提案手法

• 正確またはラスベガス型量子有限オートマトン（QFA）で解けるが、有界誤差確率的有限オートマトン（PFA）では解けないプロミス問題の構築。
• 非局所性の代表例としてペレス＝マーティンの魔方陣を用い、その量子相関をオートマトンベースの計算にマッピングする。
• 量子オートマトンと古典的オートマトンの時間的・記憶的複雑度を分析し、特に2-way、リアルタイム、1-way QFAに量子ヘッドを備えたモデルに注目する。
• 期待時間と空間複雑度の分離を証明する：古典的PTMでは指数的 vs. 未対数的空間、PFAでは線形 vs. 無限状態数。
• 量子優位性が現実的な精度制約下でも持続するかを評価するため、有限精度量子オートマトン（FPQA）の概念を導入する。
• 非局所的不等式の量子値違反と、量子オートマトンの実行回数との関係を提示し、計算性能と非局所性の強度を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロエラー量子有限オートマトンは、無限記憶を備えた有界誤差古典的有限オートマトンでは解けないプロミス問題を解くことができるか？
• RQ2 非局所性の状況下で計算分離を達成するために必要な最小の量子記憶（例：1キュービット）は何か？
• RQ3 量子オートマトンと古典的オートマトンの間の分離は、有限精度下でも、量子非局所性の古典的シミュレーションに限界をもたらすのか？
• RQ4 有限精度の量子オートマトンは、非局所的プロミス問題を解く際、依然として古典的オートマトンを上回る性能を示せるか？
• RQ5 量子値違反を達成するために必要な実行回数と、古典的シミュレーションの記憶コストとの間に直接的な関連があるか？

主な発見

• あるプロミス問題は、正確な2-way QFAで指数的期待時間で解けるが、任意の有界誤差未対数的空間確率的チューリングマシン（PTM）では解けない。
• 別のプロミス問題は、正確な2-way QFAで2次的期待時間で解けるが、任意の有界誤差 o(log log n)-空間PTMでは多項式的期待時間内に解けない。
• 同じ問題は、1-way ラスベガス型または正確な2-way QFAに量子ヘッドを備えたもので線形期待時間で解けることから、時間的優位性が示された。
• ラスベガス型リアルタイムQFAは、任意の有界誤差リアルタイムPFAでは解けないプロミス問題を解けるが、正確な2-way QFAは線形期待時間で解けるのに対し、任意の正確な2-way PFAでは解けない。
• 2状態の正確なリアルタイムQFAで解けるプロミス問題の族が存在するが、任意の有界状態数のリアルタイムPFAはすべてのメンバーを解くことはできず、古典的モデルには無限状態の要請があることが示された。
• 結果として、1キュービットの量子オートマトンが、有限記憶の古典的モデルではシミュレートできない非局所性を示すことができることを示し、量子非局所性の計算的証拠を確立した。