[논문 리뷰] Improved Distributed Expander Decomposition and Nearly Optimal Triangle Enumeration

Yi‐Jun Chang, Thatchaphol Saranurak|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 CONGEST 모델에서 확산자 분해를 위한 새로운 분산 알고리즘을 제안하며, 추가적인 저산성 간선 집합이 필요하지 않게 하면서 거의 최적의 라운드 복잡도를 달성한다. 거의 균형 잡힌, 낮은 도전도를 가진 컷에 대한 분산 근사치를 도입함으로써, Õ(n¹ᐟ³) 라운드 내에 실행되는 삼각형 열거 알고리즘을 가능하게 한다. 이는 다항로그 요소를 제외한 알려진 하한선과 일치한다.

ABSTRACT

An $(ε,ϕ)$-expander decomposition of a graph $G=(V,E)$ is a clustering of the vertices $V=V_{1}\cup\cdots\cup V_{x}$ such that (1) each cluster $V_{i}$ induces subgraph with conductance at least $ϕ$, and (2) the number of inter-cluster edges is at most $ε|E|$. In this paper, we give an improved distributed expander decomposition. Specifically, we construct an $(ε,ϕ)$-expander decomposition with $ϕ=(ε/\log n)^{2^{O(k)}}$ in $O(n^{2/k}\cdot ext{poly}(1/ϕ,\log n))$ rounds for any $ε\in(0,1)$ and positive integer $k$. For example, a $(0.01,1/ ext{poly}\log n)$-expander decomposition can be computed in $O(n^γ)$ rounds, for any arbitrarily small constant $γ>0$. Previously, the algorithm by Chang, Pettie, and Zhang can construct a $(1/6,1/ ext{poly}\log n)$-expander decomposition using $ ilde{O}(n^{1-δ})$ rounds for any $δ>0$, with a caveat that the algorithm is allowed to throw away a set of edges into an extra part which forms a subgraph with arboricity at most $n^δ$. Our algorithm does not have this caveat. By slightly modifying the distributed algorithm for routing on expanders by Ghaffari, Kuhn and Su [PODC'17], we obtain a triangle enumeration algorithm using $ ilde{O}(n^{1/3})$ rounds. This matches the lower bound by Izumi and Le Gall [PODC'17] and Pandurangan, Robinson and Scquizzato [SPAA'18] of $ ildeΩ(n^{1/3})$ which holds even in the CONGESTED CLIQUE model. This provides the first non-trivial example for a distributed problem that has essentially the same complexity (up to a polylogarithmic factor) in both CONGEST and CONGESTED CLIQUE. The key technique in our proof is the first distributed approximation algorithm for finding a low conductance cut that is as balanced as possible. Previous distributed sparse cut algorithms do not have this nearly most balanced guarantee.

연구 동기 및 목표

• 기존의 작업들과 달리 추가적인 저산성 간선 집합이 필요하지 않은 CONGEST 모델에서의 분산 확산자 분해 알고리즘을 설계하는 것.
• 향상된 확산자 분해를 활용하여 삼각형 열거의 거의 최적의 라운드 복잡도를 달성하는 것.
• 기존 접근 방식에서의 주요 기술적 과제인 거의 균형 잡힌, 낮은 도전도 컷을 효율적으로 찾는 분산 알고리즘을 개발하는 것.
• CONGEST 모델에서 삼각형 열거의 상한선과 하한선 사이의 격차를 좁혀 거의 최적성을 달성하는 것.
• CONGEST 모델이 더 강력한 CONGESTED-CLIQUE 모델과 거의 동일한 복잡도를 비트리비얼 문제에서 달성할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 기존의 희박한 컷 알고리즘에 비해 핵심적인 혁신인 가능한 한 균형 잡힌 거의 낮은 도전도 컷을 찾는 새로운 분산 근사치 알고리즘을 도입한다.
• 파arameterized 지름 임계값과 동적 분해를 이용한 고지름 및 희박한 부분으로의 재귀적 클러스터링 과정을 활용한다.
• 작은 이웃 간선 수를 가진 정점을 식별하기 위한 국소 탐색 메커니즘을 사용하여 구성 요소의 효율적 융합을 가능하게 한다.
• 구성 요소가 유한한 지름과 낮은 구성 요소 간 간선 수를 유지하도록 보장하는 분산 불변식(표기: ℋ)을 적용한다.
• 고유 식별자와 국소 협력 기반으로 반복적인 병합을 통해 고지름 분해 절차를 구현한다.
• 확산자 분해를 수정된 라우팅 알고리즘과 결합하여 효율적인 삼각형 열거를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CONGEST 모델에서 추가적인 저산성 간선 집합이 필요 없이 확산자 분해를 계산할 수 있는가?
• RQ2 CONGEST 모델에서 분산 삼각형 열거의 최적 라운드 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 분산 알고리즘이 CONGEST 모델에서 CONGESTED-CLIQUE 모델과 거의 동일한 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 CONGEST 모델에서 거의 균형 잡힌, 낮은 도전도 컷을 효율적으로 찾는 분산 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 삼각형 열거의 가장 날카운 복잡도는 무엇이며, 이를 구현 가능한 알고리즘으로 달성할 수 있는가?

주요 결과

• $(\epsilon,\phi)$-확산자 분해는 모든 $k \geq 1$에 대해 $O(n^{2/k} \cdot \text{poly}(1/\phi, \log n))$ 라운드 내에 달성되며, $\phi = (\epsilon / \log n)^{2^{O(k)}}$이다.
• $(1/n^{o(1)}, 1/n^{o(1)})$-확산자 분해는 $O(n^{o(1)})$ 라운드 내에 계산 가능하며, 이는 하위다항수 요소를 제외한 최적이다.
• $(0.01, 1/\text{poly} \log n)$-확산자 분해는 임의의 $\gamma > 0$에 대해 $O(n^{\gamma})$ 라운드 내에 계산되며, 문헌에서 알려진 최고의 범위와 일치한다.
• 삼각형 열거 알고리즘은 $\tilde{O}(n^{1/3})$ 라운드 내에 실행되며, 이는 CONGESTED-CLIQUE 모델에서 알려진 $\tilde{\Omega}(n^{1/3})$ 하한선과 일치한다.
• 이것은 CONGEST 모델에서 비트리비얼 문제 중에서 CONGESTED-CLIQUE 모델과 거의 동일한 복잡도를 달성한 최초의 사례이며, 다항로그 요소를 제외한 것이다.
• 제안된 알고리즘은 이전 작업들과 달리 간선을 저산성 부분으로 기각할 필요가 없어지며, 이는 더 견고하고 실용적인 구현을 가능하게 한다.