[論文レビュー] Improved Lower Bounds for the Shortest Superstring and Related Problems

Marek Karpiński, Richard Schmied|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大軌道サイズ8およびすべての文字列長が4未満であるという非常に制限された条件下で、短いスーパ스트リング問題の極めて制限されたインスタンスを構築する新規還元手法を提示する。この手法を用いることで、著者らは既知の近似下界を大幅に改善し、問題が333/332 ≈ 1.00301より良い要因で近似可能でないことが示され、同様に最大圧縮問題およびMAX-ATSPの下界も tightened された。

ABSTRACT

We study the approximation hardness of the Shortest Superstring, the Maximal Compression and the Maximum Asymmetric Traveling Salesperson (MAX-ATSP) problem. We introduce a new reduction method that produces strongly restricted instances of the Shortest Superstring problem, in which the maximal orbit size is eight (with no character appearing more than eight times) and all given strings having length four. Based on this reduction method, we are able to improve the best up to now known approximation lower bound for the Shortest Superstring problem and the Maximal Compression problem by an order of magnitude. The results imply also an improved approximation lower bound for the MAX-ATSP problem.

研究の動機と目的

• 非常に制限されたインスタンスクラスにおいて、短いスーパストリング問題の近似困難性をより強く確立すること。
• 短いスーパストリング問題、最大圧縮問題、およびMAX-ATSP問題の既知の明示的近似下界を改善すること。
• 軌道サイズ（≤8）と短い文字列長（≤4）が制限されたインスタンスを生成する新しい還元フレームワークを開発すること。
• これらの強い制約下でも、問題が333/332より良い要因で近似可能でないことを示すこと。
• 既知の近似アルゴリズムと効率的近似の限界の間のギャップを埋めるために、近似不能性の閾値をタイトにすること。

提案手法

• 2進および3進の式を含むハイブリッド問題のインスタンスを、最大軌道サイズ8およびすべての文字列長が4未満であるという厳密な制約を持つ短いスーパストリングインスタンスに写像する新規還元手法を設計する。
• 2変数および3変数の式に対して、循環的重複パターンと対称的配置の文字列ガジェットを構築し、変数の割り当てを符号化する。
• 長さを保存するが、スーパーストリングから変数の割り当てを多項式時間で再構築可能であるような、ノルム化されたスーパーストリング変換を導入する。
• ハイブリッド問題における満たされない式と、スーパーストリングにおける長さの増加との対応関係を用い、近似比と解の質を関連付ける。
• 長さが7n + 5m₂ + 16m₃ + u であるスーパーストリングは、最大でu個の式を満たす割り当てに対応し、逆にその逆も成り立つことを証明する。
• 得られた対応関係を基に、満たされない式の数を圧縮損失およびスーパーストリング長と関連付けることで、明示的な近似不能性比を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短いスーパストリング問題の近似困難性は、軌道サイズが限定され、文字列長が短いという極めて制限されたインスタンスクラスにおいても向上可能か？
• RQ2 すべての文字列長が4未満であり、どの文字も8回未満しか出現しない条件下で、短いスーパストリング問題の最良の近似比は何か？
• RQ3 類似の還元を用いることで、最大圧縮問題およびMAX-ATSPの近似不能性閾値をどの程度タイトにできるか？
• RQ4 このような制限されたインスタンスにおいて、短いスーパストリング問題に対して超定数の近似下界を達成することは可能か？
• RQ5 最小限の構造的複雑性を有するが、強力な近似不能性結果を保持する新しい還元フレームワークを設計することは可能か？

主な発見

• 著者らは、すべての文字列長が4未満であり、どの文字も8回未満しか出現しない条件下でも、短いスーパストリング問題が333/332 ≈ 1.00301より良い要因で近似可能でないことが示された。
• この結果により、短いスーパストリング問題の過去の最良近似下界が1桁向上し、1.00082近辺から1.00301に改善された。
• 同じ還元フレームワークにより、最大圧縮問題に対しても改善された近似不能性結果が得られ、下界が333/332となった。
• 同じ構成を用いることで、MAX-ATSP問題に対しても、333/332より良い要因で近似可能でないことが示された。
• 還元は多項式時間で計算可能であり、変数の割り当てとスーパーストリング長／圧縮の対応関係を保持するため、タイトな困難性解析が可能である。
• この手法により、軌道サイズと文字列長が制限された極めて制限されたインスタンスクラスにおいても、問題が極めて近似不能であることが示された。