[論文レビュー] Improved Multi-Pass Streaming Algorithms for Submodular Maximization with Matroid Constraints

Chien‐Chung Huang, Theophile Thiery+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、p-マッチョイド制約下での単調および非負のサブモジュラ最大化に対する、改善されたマルチパスストリーミングアルゴリズムを提示する。O(k)のメモリを用いてO(p/ε)パスで(p+1+ε)-近似を達成する。一般のサブモジュラ関数へは、O(p³k log k / ε³)のメモリとO(p/ε)のパスを用いて(p+1+γ̄_off+O(ε))-近似を達成し、最小限のパス数とメモリで、オフライン性能にε近似で一致する。

ABSTRACT

We give improved multi-pass streaming algorithms for the problem of maximizing a monotone or arbitrary non-negative submodular function subject to a general $p$-matchoid constraint in the model in which elements of the ground set arrive one at a time in a stream. The family of constraints we consider generalizes both the intersection of $p$ arbitrary matroid constraints and $p$-uniform hypergraph matching. For monotone submodular functions, our algorithm attains a guarantee of $p+1+\varepsilon$ using $O(p/\varepsilon)$-passes and requires storing only $O(k)$ elements, where $k$ is the maximum size of feasible solution. This immediately gives an $O(1/\varepsilon)$-pass $(2+\varepsilon)$-approximation algorithms for monotone submodular maximization in a matroid and $(3+\varepsilon)$-approximation for monotone submodular matching. Our algorithm is oblivious to the choice $\varepsilon$ and can be stopped after any number of passes, delivering the appropriate guarantee. We extend our techniques to obtain the first multi-pass streaming algorithm for general, non-negative submodular functions subject to a $p$-matchoid constraint with a number of passes independent of the size of the ground set and $k$. We show that a randomized $O(p/\varepsilon)$-pass algorithm storing $O(p^3k\log(k)/\varepsilon^3)$ elements gives a $(p+1+\barγ+O(\varepsilon))$-approximation, where $\bar{gamma}$ is the guarantee of the best-known offline algorithm for the same problem.

研究の動機と目的

• 限られたメモリにおけるストリーミングモデル下で、p-マッチョイド制約下でのサブモジュラ関数の最大化という課題に対処すること。
• オフラインの対応手法に比べて弱い近似保証を与える既存のストリーミングアルゴリズムを改善すること。
• 単調サブモジュラ関数に対して、オフラインのローカルサーチアルゴリズムの性能に近いマルチパスストリーミングアルゴリズムを設計すること。
• 一般の非負サブモジュラ関数（必ずしも単調ではない）に対しても、p-マッチョイド制約下でこのフレームワークを拡張すること。
• 最もよく知られたオフラインアルゴリズムの性能に近い近似比を達成しつつ、グランドセットサイズに依存しない定数個のパス数と低メモリを維持すること。

提案手法

• 複数のパスで処理を行う確率的ストリーミングローカルサーチアルゴリズムを用い、O(k/ε²)のサイズのバッファを維持する。
• 各パスにおいて、現在の解を改善する要素をバッファから選択するローカルサーチを実行し、バッファがいっぱいの場合には確率的選択メカニズムを用いる。
• サブモジュラリティと集中不等式に基づく確率的解析により、パス間での期待 marginal 増加を制限する。
• Buchbinderらの補題4.1を用いて、選択された集合の和集合と最適解の期待関数値を下限づける。
• f(OPT)の推定値を仮定し、閾値α = ε·f(OPT)/(2k)を設定することで、二分探索または倍増法による空間効率的な近似を可能にする。
• 複数のパスを組み合わせて、オフラインローカルサーチの挙動を模倣し、単調関数に対して解がOPTの(p+1+ε)内に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチパスストリーミングアルゴリズムは、p-マッチョイド制約下での単調サブモジュラ最大化において、オフラインローカルサーチアルゴリズムに近い近似比を達成できるか？
• RQ2 ストリーミングサブモジュラ最大化におけるp-マッチョイド制約下で、パス数、メモリ使用量、近似比のトレードオフは何か？
• RQ3 このフレームワークは、非負（必ずしも単調ではない）サブモジュラ関数に対しても、定数個のパス数と低メモリを維持したまま拡張可能か？
• RQ4 近似保証は、同じ問題に対する最もよく知られたオフラインアルゴリズムの性能とどのように関係するか？
• RQ5 単調サブモジュラ関数に対して、(1+ε)-近似をオフライン最適解に達成するために必要な最小パス数は何か？

主な発見

• 単調サブモジュラ関数に対して、O(p/ε)のパスとO(k)のメモリを用いて(p+1+ε)-近似を達成する。
• マトロイド制約下では2+ε-近似、グラフのマッチング制約下では3+ε-近似を達成する。
• 一般の非負サブモジュラ関数に対しては、O(p/ε)のパスとO(p³k log k / ε³)のメモリを用いて(p+1+γ̄_off+O(ε))-近似を達成する。
• アルゴリズムはεに依存しない：任意のパス数後に停止させても、実行したパス数に比例する保証が得られる。
• 解析は、パス間で要素が選択される確率を制限し、サブモジュラリティを用いて解の成長をOPTと関連付けることに依存する。
• メモリの複雑さはほぼ最適であり、kに対して対数的要因しかなく、パス数はグランドセットサイズに依存しない。