[論文レビュー] Infinite-dimensional integration and the multivariate decomposition method

Frances Y. Kuo, Dirk Nuyens+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 52被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、無限次元積分のための多次元分解法（MDM）を進展させ、アルゴリズム依存の重み $ \gamma_{\frak{u}} $ に依存せず、関数成分 $ f_{\frak{u}} $ のノルム空間 $ F_{\frak{u}} $ における既知の上限 $ B_{\frak{u}} $ を仮定することで、その枠組みを拡張する。Lebesgue積分がアングカー付き積分と一致することを証明し、収束速度 $ \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ を得る。ここで $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $ であり、コストバウンドは $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ となる。

ABSTRACT

We further develop the \\emph{Multivariate Decomposition Method} (MDM) for the Lebesgue integration of functions of infinitely many variables $x_1,x_2,x_3,\\ldots$ with respect to a corresponding product of a one dimensional probability measure. Although a number of concepts of infinite-dimensional integrals have been used in the literature, questions of uniqueness and compatibility have mostly not been studied. We show that, under appropriate convergence conditions, the Lebesgue integral equals the `anchored' integral, independently of the anchor. The MDM assumes that point values of $f_{\\mathfrak{u}}$ are available for important subsets ${\\mathfrak{u}}$, at some known cost. In this paper we introduce a new setting, in which it is assumed that each $f_{\\mathfrak{u}}$ belongs to a normed space $F_{\\mathfrak{u}}$, and that bounds $B_{\\mathfrak{u}}$ on $\\|f_{\\mathfrak{u}}\\|_{F_{\\mathfrak{u}}}$ are known. This contrasts with the assumption in many papers that weights $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$, appearing in the norm of the infinite-dimensional function space, are somehow known. Often such weights $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$ were determined by minimizing an error bound depending on the $B_{\\mathfrak{u}}$, the $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$ \\emph{and} the chosen algorithm, resulting in weights that depend on the algorithm. In contrast, in this paper only the bounds $B_{\\mathfrak{u}}$ are assumed known. We give two examples in which we specialize the MDM: in the first case $F_{\\mathfrak{u}}$ is the $|{\\mathfrak{u}}|$-fold tensor product of an anchored reproducing kernel Hilbert space, and in the second case it is a particular non-Hilbert space for integration over an unbounded domain.

研究の動機と目的

• 無限次元積分の概念における一意性と整合性の欠如を解消するため、積分の積層測度の文脈でLebesgue積分を厳密に定義すること。
• アルゴリズム依存の重み $ \gamma_{\frak{u}} $ に依存せず、$ \|f_{\frak{u}}\|_{F_{\frak{u}}} $ に対する上限 $ B_{\frak{u}} $ のみを仮定する新しいMDMフレームワークの構築。
• アングカー点の選択に依存せず、Lebesgue積分とアングカー付き積分が理論的に同等であることを確立すること。
• 新しい $ B_{\frak{u}} $-ベースの設定下でのMDMの収束およびコスト解析を提供し、明示的な誤差およびコストバウンドを導出すること。
• MDMを2つの状況に特化する：(1) アングカー付きRKHSのテンソル積、および (2) 無限大領域における非ヒルバート空間。

提案手法

• 関数 $ f = \sum_{\frak{u}} f_{\frak{u}} $ にMDMを適用し、各 $ f_{\frak{u}} $ は有限集合 $ \frak{u} \subset \mathbb{N} $ でインデックス付けされた変数にのみ依存し、$ f_{\frak{u}} \in F_{\frak{u}} $ であり、ノルムの上限 $ B_{\frak{u}} $ が既知であると仮定する。
• 積分は、$ \rho_j $ が $[0,\infty)$ 上の指数分布 $ \exp(-x_j) $ である積測度 $ \rho = \prod_{j=1}^\infty \rho_j $ に対して実行される。
• アングカー付き積分を基準とし、収束条件を満たす場合、アングカー点の選択にかかわらずLebesgue積分がアングカー付き積分と等しくなることを証明する。
• Smolyakの構成を用いて、一変数積分則 $ U_i $ を用いて誤差 $ \|I - U_i\| < C_1 2^{-i} $、$ C_1 = 1.00656 $ を満たす多次元積分アルゴリズム $ A_{{\frak{u}},n_{\frak{u}}} $ を構築する。
• 誤差バウンドは、二項係数と減衰率を含む $ G_{{\frak{u}},q} $ 項を介して、積分関数のノルム $ C_{\frak{u}} = \|I_{\frak{u}}\| = 1 $ を用いて導出される。
• 最終的なアルゴリズム $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ は、$ B_{\frak{u}} $ に基づいて $ \kappa_{\frak{u}} $ と $ h_{\frak{u}} $ を選択することで構築され、収束性 $ e(\overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon}; {\mathcal{F}}) \leq \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ が得られ、ここで $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数の無限変数のLebesgue積分が、アングカー点の選択に依存せず、アングカー付き積分と等しくなるための条件は何か？
• RQ2 アルゴリズム依存の重み $ \gamma_{\frak{u}} $ を仮定せず、$ \|f_{\frak{u}}\|_{F_{\frak{u}}} $ に対する上限 $ B_{\frak{u}} $ のみが既知である場合、多次元分解法（MDM）をどのように再定式化できるか？
• RQ3 この新しい $ B_{\frak{u}} $-ベースのフレームワーク下で、MDMの収束速度とコストバウンドはどのように達成できるか？
• RQ4 MDMを (1) アングカー付きRKHSのテンソル積および (2) 無限大領域の非ヒルバート空間に特化した場合、性能はどのようになるか？
• RQ5 積分アルゴリズムの複雑さと、関数成分ノルムの減衰 $ B_{\frak{u}} $ の関係は何か、特に $ \pounds(d) = e^{O(d)} $ の場合にどうなるか？

主な発見

• 関数 $ f $ が支配的収束する分解 $ f = \sum_{\frak{u}} f_{\frak{u}} $ を持つ場合、適切な収束条件のもとで、Lebesgue積分はアングカー点の選択に依存せず、アングカー付き積分と等しくなる。
• 既知の $ B_{\frak{u}} $ を用いた新しいMDM設定下で、アルゴリズム $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ の誤差は $ e(\overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon}; {\mathcal{F}}) \leq \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ を満たし、ここで $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $ である。
• アルゴリズム $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ のコストは $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ でバウンドされ、与えられた誤差率に対してほぼ最適である。
• $ \pounds(d) = e^{O(d)} $ の場合、コストバウンドは $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ のまま維持され、問題の次元性に伴うスケーリングが良好であることが示された。
• アングカー付きRKHSの場合、$ \boldsymbol{x}_{\frak{u}} $ における評価関数のノルムは $ \prod_{j \in \frak{u}} x_j $ であり、積分関数のノルムは 1 である。
• 指数的重みを伴う無限大領域のケースでは、一変数積分関数のノルムは 1 であり、MDMは誤差 $ \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ およびコスト $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ を達成する。