[論文レビュー] Infinite games and cardinal properties of topological spaces

Angelo Bella, Santi Spadaro|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限な位相的ゲームを用いて、特に弱いリンデレーフ空間、第一可算空間、ほぼ正則空間の位相的空間の濃度に関する上限を確立する。ゲーム的証明により、シャピロフスキーの正則開集合の数に関する上限を示し、ハジナル＝ユーハーシュの第一可算なcccハウスドルフ空間に対する上限が、ほぼ正則空間へと拡張可能であることを示し、集合論的位相幾何学における長年の問いに答えを提示する。

ABSTRACT

Inspired by work of Scheepers and Tall, we use properties defined by topological games to provide bounds for the cardinality of topological spaces. We obtain a partial answer to an old question of Bell, Ginsburg and Woods regarding the cardinality of weakly Lindelöf first-countable regular spaces and answer a question recently asked by Babinkostova, Pansera and Scheepers. In the second part of the paper we study a game-theoretic version of cellularity, a special case of which has been introduced by Aurichi. We obtain a game-theoretic proof of Shapirovskii's bound for the number of regular open sets in an (almost) regular space and give a partial answer to a natural question about the productivity of a game strengthening of the countable chain condition that was introduced by Aurichi. As a final application of our results we prove that the Hajnal-Juhász bound for the cardinality of a first-countable ccc Hausdorff space is true for almost regular (non-Hausdorff) spaces.

研究の動機と目的

• 古典的手法が失敗する場合に、位相的空間の濃度を制限するゲーム的アプローチを提供すること。
• ベール、ジンスブルグ、ウッドズが提起した、正則で第一可算な弱いリンデレーフ空間の濃度に関する未解決問題に応えること。
• ゲーム的枠組みを用いて、シャピロフスキーの正則開集合に関する上限を証明すること。
• ゲーム的強化された可算鎖条件（ccc）の生産性を調査すること。
• 第一可算なcccハウスドルフ空間に対するハジナル＝ユーハーシュの上限を、ほぼ正則でハウスドルフでない空間へ一般化すること。

提案手法

• プレイヤーが交互に細胞族と要素を選ぶゲーム $ G^{ heta}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ を導入・分析し、プレイヤー2がその和集合が稠密である場合に勝利するものとする。
• プレイヤー2が $ G^{ heta}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ で勝つ戦略を持つことにより、空間の密度および $ \rho $-性質を制限する。
• 超限再帰を用いて、サイズ $ \theta^{\text{cf}(\theta)} $ の稠密集合 $ D $ を構成し、戦略の存在と位相的濃度不変量との関連を確立する。
• ゲーム的稠密性の上限を用いて $ \pi w(X) \leq \pi\chi(X)^{c(X)} $ を確立し、シャピロフスキーの結果を一般化する。
• ゲーム的 $ \pi $-重みの特徴付けを活用し、$ \pi $-性質が可算である空間に対してゲームの生産性を証明する。
• ゲーム的稠密性の上限と既知の不等式を組み合わせ、ハジナル＝ユーハーシュの上限をほぼ正則空間へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーム的メソッドを用いて、正則で第一可算な弱いリンデレーフ空間の濃度が連続体によって制限可能かどうか。
• RQ2 ほぼ正則空間において、シャピロフスキーの正則開集合数に関する上限に対するゲーム的証明が存在するか。
• RQ3 可算 $ \pi $-性質を有する空間に対して、ゲーム的強化されたcccの生産性が成立するか。
• RQ4 第一可算なcccハウスドルフ空間に対するハジナル＝ユーハーシュの上限が、ほぼ正則でハウスドルフでない空間へ拡張可能かどうか。
• RQ5 $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ における勝ち戦略と空間の $ \pi $-重みおよび密度との関係は何か。

主な発見

• 本稿は、ベール、ジンスブルグ、ウッドズの問いに対して部分的な答えを提供する。すなわち、プレイヤー2が $ G^{ heta}_{1}(\ncal{O}_X, \ncal{O}_X) $ で勝つ戦略を持つ正則で第一可算な弱いリンデレーフ空間は、濃度が $ 2^{\aleph_0} $ 以下であることを示す。
• シャピロフスキーの上限に対するゲーム的証明が確立された：任意のほぼ正則空間 $ X $ に対して $ \rho(X) \leq \pi\chi(X)^{c(X)} $ が成り立つ。
• ゲーム $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ は $ \pi $-重みを特徴付ける：可算 $ \pi $-性質を有する正則空間は、$ \pi $-重みが可算であることと、プレイヤー2がこのゲームで勝つ戦略を持つことと同値である。
• 可算 $ \pi $-性質を有する空間のクラスにおいて、$ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ で勝つ戦略を持つという性質は生産的である。
• 第一可算なcccハウスドルフ空間に対するハジナル＝ユーハーシュの上限 $ |X| \leq 2^{\aleph_0} $ は、ハウスドルフ分離公理がなくても、ほぼ正則空間に対して成立する。
• 反例により、$ T_1 $ で第一可算な空間で、プレイヤー2が $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ で勝つ戦略を持つ場合、ハジナル＝ユーハーシュの上限が成立しないことが示され、ほぼ正則性の必要性が裏付けられる。