[論文レビュー] Infinite time blow-up for the fractional heat equation with critical exponent

Monica Musso, Yannick Sire+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界領域における臨界指数付き分数熱方程式に対して、無限時間 blow-up 解の存在を示した。新規の内側・外側グラフィング法を用い、任意の有限個の相異なる内部点に対して、時間が無限大に近づくにつれて解がこれらの点に集中するような初期条件が存在することを証明した。blow-up 速度は時間とともに多項式的に減少する。

ABSTRACT

We consider positive solutions for the fractional heat equation with critical exponent \begin{equation*} \begin{cases} u_t = -(-Δ)^{s}u + u^{\frac{n+2s}{n-2s}} ext{ in } Ω imes (0, \infty), u = 0 ext{ on } (\mathbb{R}^n\setminus Ω) imes (0, \infty), u(\cdot, 0) = u_0 ext{ in }\mathbb{R}^n, \end{cases} \end{equation*} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^n$, $n > 4s$, $s\in (0, 1)$, $u:\mathbb{R}^n imes [0, \infty) o \mathbb{R}$ and $u_0$ is a positive smooth initial datum with $u_0|_{\mathbb{R}^n\setminus Ω} = 0$. We prove the existence of $u_0$ such that the solution blows up precisely at prescribed distinct points $q_1,\cdots, q_k$ in $Ω$ as $t o +\infty$. The main ingredient of the proofs is a new inner-outer gluing scheme for the fractional parabolic problems.

研究の動機と目的

• 有界領域における臨界非線形性を有する分数熱方程式に対して、無限時間 blow-up 解の存在を確立すること。
• 古典的な無限時間 blow-up 現象（s=1）を局所的状況から非局所的分数的設定（0 < s < 1）に拡張すること。
• t → ∞ 時に、領域内に所定のk個の相異なる点に正確に集中する解を構成すること。
• 臨界成長を有する分数放物型問題に特化した、新規の内側・外側グラフィング法を開発すること。

提案手法

• 所定の点を中心にした分数的調和関数（バブル）の形、$ U_{\nu,\nu}(x) = \alpha_{n,s} \left( \frac{\mu}{\mu^2 + |x - \xi|^2} \right)^{\frac{n-2s}{2}} $ を用いて近似解を構築する。
• 空間の異なる領域で内側（バブル発生）と外側（正則）の解を一致させるために、新規の内側・外側グラフィング法を実装する。
• 分数ラプラシアンのグリーン関数 $ G(x,y) $ 及びその正則部 $ H(x,y) $ を用いて、バブル間の相互作用を特徴付ける。
• 重み付き Hölder 空間における可解性を保証するため、誤差に直交性条件を課す。
• 重み付き関数空間における固定点議論を用いて、誤差の制御された減衰を伴う非線形問題を解く。
• 漸近的解析および重み付き推定を用いて誤差項を制御し、$ t \to \infty $ 時に収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域における臨界指数付き分数熱方程式において、無限時間 blow-up が生じ得るか？
• RQ2 どのような条件下で、解が $ t \to \infty $ 時に有限個の所定の内部点に集中するか？
• RQ3 非局所的設定において、このような blow-up 解を構築する強固な方法はあるか？
• RQ4 分数的状況下で、無限時間にわたる blow-up 速度は、局所的状況と比較してどのように振る舞うか？
• RQ5 分数グリーン関数およびその正則部が、blow-up プロファイルの安定性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 任意の $ k $ 個の相異なる点 $ q_1, \dots, q_k \in \Omega $ に対して、正則部 $ H $ 及びグリーン関数 $ G $ を用いて定義される行列 $ \mathcal{G}(q) $ が正定値であれば、$ t \to \infty $ 時にこれらの点で blow-up する解が存在する。
• 解は $ \mu_j(t) \to 0 $ および $ \xi_j(t) \to q_j $ となる無限時間 blow-up を示し、$ \mu_j(t) \sim \beta_j t^{-1/(n-4s)} $（$ \beta_j > 0 $）を満たす。
• blow-up プロファイルは、$ q_j $ を中心とする $ k $ 個の分数的バブルの和に漸近的に近いものであり、次元および分数的次数 $ s $ に従って決定される減衰率で制御される。
• この構成は、分数ラプラシアンの非局所的性質および臨界指数 $ \frac{n+2s}{n-2s} $ に適合した、新規の内側・外側グラフィング法に依存している。
• 誤差推定は重み付き Hölder 範囲で制御され、大時間における固定点議論の収束を保証する。
• 解の安定性は古典的状況から引き継がれ、初期データの小さな摂動に対しても同じ漸近的挙動を示す。