[論文レビュー] Infinitely many solutions to a fractional nonlinear Schrödinger equation

Liping Wang, Chunyi Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限に多くの非回転対称な正の解が存在することを示している。これは、無限に遠くで $ |x|^{-m} $ のように減衰する回転対称ポテンシャル $ V(|x|) $ を持つ分数階非線形シュレーディンガー方程式に対して、Lyapunov-Schmidt 減少法と漸近解析を用いて、大きな半径に集中するマルチバンプ解を構成することで証明された。これらの解のエネルギーは任意に大きくできることを示しており、分数階シュレーディンガー方程式における初めてのこのような多重性結果である。

ABSTRACT

This paper considers the fractional Schrödinger equation \begin{equation}\label{abstract} (-Δ)^s u + V(|x|)u-u^p=0, \quad u>0, \quad u\in H^{2s}(\R^N) \end{equation} where $0

研究の動機と目的

• 分数階非線形シュレーディンガー方程式に無限に多くの非回転対称な正の解が存在することを確立すること。
• 古典的ケース $ s=1 $ で知られている多重性結果を、分数階 $ 0 < s < 1 $ の設定に拡張すること。
• 無限遠におけるポテンシャル $ V(|x|) = V_0 + a|x|^{-m} + o(|x|^{-m}) $ の漸近的挙動と、それが解構造に与える影響を分析すること。
• これらの解のエネルギーを任意に大きくできることを示し、強力な多重性結果を確認すること。

提案手法

• 無限次元問題を有限次元問題に還元するため、Lyapunov-Schmidt 減少法を用いる。
• 半径 $ r $ の大きな球面上の点 $ q_j $ に中心を持つ $ k $ 個の局在化したバンプ $ W_j $ の重ね合わせとしての形式的解を構成する。
• ポテンシャル $ V(|x|) $ の漸近的展開を用いて、近似解 $ W $ のエネルギー関数 $ J(W) $ を推定する。
• エネルギー展開に $ r^{-m} $、$ (k/r)^{N+2s} $、および $ |q_i - q_j|^{-(N+2s)} $ の項を含め、バンプ間の相互作用を制御する。
• 分数階ラプラシアンのグリーン関数および極限方程式の基底状態解 $ w $ に対する鋭い点ごとの減衰推定を適用する。
• エネルギー展開の主要項をバランスさせることで、$ k $ が大きいとき関数値に臨界点が存在することを示し、解の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階非線形シュレーディンガー方程式（$ 0 < s < 1 $）は、適切なポテンシャル減衰仮定のもとで、無限に多くの非回転対称解を有することができるか？
• RQ2 無限遠におけるポテンシャル $ V(|x|) $ の漸近的挙動は、解の多重性にどのように影響するか？
• RQ3 分数階シュレーディンガー設定において、解のエネルギーを任意に大きくできるか？
• RQ4 原点から遠く離れた場所にスパイクが集中するマルチバンプ解を、分数階の場合に構成することは可能か？

主な発見

• ポテンシャルが $ V(|x|) = V_0 + a|x|^{-m} + o(|x|^{-m}) $ と漸近するとき、分数階シュレーディンガー方程式は、指定された範囲の $ m $ に対して無限に多くの非回転対称な正の解を有する。
• バンプ数 $ k $ を増やすことで、これらの解のエネルギーを任意に大きくできる。
• 主要項のエネルギー展開は $ J(W) = k\left[A_1 + \frac{B_1}{r^m} - \frac{1}{2}\sum_{j=2}^k \frac{\widetilde{B}_2}{|q_1 - q_j|^{N+2s}} + o(r^{-m} + (k/r)^{N+2s})\right] $ である。ここで $ A_1, B_1, \widetilde{B}_2 $ は基底状態 $ w $ に依存する正の定数である。
• バンプ間の相互作用は $ |q_i - q_j|^{-(N+2s)} $ 項によって制御され、この項は十分に速く減衰するため、複数の非退化解の構成が可能である。
• 古典的多重性結果（Wei-Yan, 2010）を $ s=1 $ の場合から分数階 $ 0 < s < 1 $ の場合に拡張した。より一般的なポテンシャル仮定が得られた。
• 本手法により、半径 $ r $ とスパイク数 $ k $ の間の明確な関係が得られ、$ s=1 $ の場合では主項エネルギー項のみでは達成できなかった。