[论文解读] Infinitesimal Hom-bialgebras and Hom-Lie bialgebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 37被引用 13

一句话总结

本文将无穷小双代数推广为 Hom-代数设定下的无穷小 Hom-双代数，通过 Hom-代数上同调中的扭曲 1-上循环条件建立其结构。本文提出了结合 Hom-杨-Baxter 方程（AHYBE），证明了构造新 Hom-双代数的扭曲原理，并表明 AHYBE 的反对称解通过换位子括号可导出拟三角 Hom-李双代数，从而将经典结果推广至 Hom 设定。

ABSTRACT

We study the Hom-type generalization of infinitesimal bialgebras, called infinitesimal Hom-bialgebras. In particular, we consider infinitesimal Hom-bialgebras arising from quivers, the sub-classes of coboundary and quasi-triangular infinitesimal Hom-bialgebras, the associative Hom-Yang-Baxter equation, and homological perturbation of the comultiplications in infinitesimal Hom-bialgebras. The relationships between infinitesimal Hom-bialgebras, Hom-Lie bialgebras, and the classical Hom-Yang-Baxter equation are also studied.

研究动机与目标

• 将无穷小双代数推广至 Hom-代数设定，通过扭曲映射 α 定义无穷小 Hom-双代数。
• 将结合 Hom-杨-Baxter 方程（AHYBE）确立为 AYBE 的 Hom-类比，并将其与经典 Hom-杨-Baxter 方程（CHYBE）关联。
• 发展两种扭曲原理：一是从已知的 ε-双代数与同态生成新的 ε-Hom-双代数，二是从单一结构导出 ε-Hom-双代数的序列。
• 定义并研究 coboundary 与拟三角 ε-Hom-双代数，将 Aguiar 的构造推广至 Hom 设定。
• 证明 ε-Hom-双代数中 AHYBE 的反对称解通过（共）换位子括号可诱导出拟三角 Hom-李双代数。

提出的方法

• 将 ε-Hom-双代数定义为 Hom-结合代数与 Hom-共结合余代数，其中余乘法 Δ 是 Hom-代数上同调中以 A⊗A 为系数的 1-上循环。
• 将结合 Hom-杨-Baxter 方程（AHYBE）引入为 AYBE 的 Hom-类比，其解 r 满足 (α⊗α)(r) = r 与扭曲上循环条件。
• 建立第一扭曲原理：给定一个 ε-双代数 A 与代数同态 α: A → A，构造一个新的 ε-Hom-双代数 Aα，其乘法为 μα = α∘μ，余乘法为 Δα = (α⊗α)∘Δ。
• 建立第二扭曲原理：从任意 ε-Hom-双代数出发，通过迭代扭曲映射 α，生成一系列 ε-Hom-双代数。
• 将 coboundary ε-Hom-双代数定义为 Δ = [−, r]_* 的形式，即 Hom-代数意义下的主导出，其中 r 满足 α-不变性。
• 利用（共）换位子括号从拟三角 ε-Hom-双代数构造 Hom-李双代数，表明 AHYBE 的反对称解可导出 Hom-李设定下的 CHYBE 解。

实验结果

研究问题

• RQ1 无穷小双代数的概念如何推广至 Hom-代数设定？ε-Hom-双代数的定义公理是什么？
• RQ2 结合 Hom-杨-Baxter 方程（AYBE）的 Hom-类比是什么？它与经典 Hom-杨-Baxter 方程（CHYBE）有何关系？
• RQ3 Hom-代数的扭曲原理能否扩展至 ε-Hom-双代数？它们如何从已知结构生成新例子？
• RQ4 在 ε-Hom-双代数中，AHYBE 的解在何种条件下可导出拟三角 Hom-李双代数？
• RQ5 ε-Hom-双代数中的 coboundary 与拟三角结构如何与它们的 Hom-李双代数对应物关联？

主要发现

• 第一扭曲原理允许从任意 ε-双代数与代数同态 α 构造 ε-Hom-双代数，其中包含来自克罗内克 quiver 等图的显式例子。
• 第二扭曲原理通过迭代扭曲映射可从导出的 ε-Hom-双代数恢复原始 ε-双代数，如克罗内克 ε-双代数所示。
• 对于二维 Hom-结合代数 Aα，其中 α(x) = x 且 α(y) = cx + y，张量 r = y⊗x − x⊗y 满足 α-不变性且满足 AHYBE，从而生成一个拟三角 ε-Hom-双代数。
• 当 α(x) = ax 且 a ≠ 0 时，迭代扭曲 (α⊗α)^n(r) = a^n r，表明 r 在 Aα 中生成了一族 AHYBE 的反对称解。
• ε-Hom-双代数中 AHYBE 的反对称解通过（共）换位子括号可诱导出 Hom-李设定下的 CHYBE 解，如引理 7.9 所形式化。
• 构造 (A, [−,−], δ, α, r)，其中 [−,−] = μ∘(Id−τ)，δ = (Id−τ)∘Δ，且 r 为 AHYBE 的反对称解，可导出一个拟三角 Hom-李双代数。