[論文レビュー] Infinitesimal objects associated to Dirac groupoids and their homogeneous spaces

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Dirac群コホモロジーの単位およびコアに自然なLie代数ダクト構造を導入することで、Dirac群コホモロジーの無限小構造を確立する。また、既知のPoisson幾何学およびシンプレクティック幾何学の構造を一般化するCourant代数ダクトをDirac群コホモロジーから構成し、双方向作用に不変なLagrangian部分空間を用いてDirac同調空間を分類することで、Poisson群コホモロジーおよび閉2形式群コホモロジーに関する先行研究を統合する。

ABSTRACT

Let $(G r P, \mathsf D_G)$ be a Dirac groupoid. We show that there are natural Lie algebroid structures on the units $\lie A(\mathsf D_G)$ and on the core $I^ g(\mathsf D_G)$ of the multiplicative Dirac structure. In the Poisson case, the Lie algebroid $A^*G$ is isomorphic to $\lie A(\mathsf D_G)$ and in the case of a closed 2-form, the $IM$-2-form is equivalent to the core algebroid that we find. We construct a vector bundle $\lie B(\mathsf D_G) o P$ associated to any (almost) Dirac structure. In the Dirac case, $\lie B(\mathsf D_G)$ has the structure of a Courant algebroid that generalizes the Courant algebroid defined by the Lie bialgebroid of a Poisson groupoid. This Courant algebroid structure is induced in a natural way by the ambient Courant algebroid $TG\oplus T^*G$. The already known theorems about one-one correspondence between the homogeneous spaces of a Poisson Lie group (respectively Poisson groupoid, Dirac Lie group) and suitable Lagrangian subspaces of the Lie bialgebra or Lie bialgebroid are generalized to a classification of the Dirac homogeneous spaces of a Dirac groupoid. $\mathsf D_G$-homogeneous Dirac structures on $G/H$ are related to suitable Dirac structures in $\lie B(\mathsf D_G)$. In the case of almost Dirac structures, we find Lagrangian subspaces of $\lie B(D_G)$, that are invariant under an induced action of the bisections of $H$ on $\lie B(\mathsf D_G)$.

研究の動機と目的

• Dirac群コホモロジーへのPoissonおよびシンプレクティック同調空間の分類を一般化すること。
• Dirac群コホモロジーの無限小データを、Dirac構造の単位およびコアに自然なLie代数ダクト構造として特定すること。
• Poisson群コホモロジーのLie双代数ダクト構成を一般化する、Dirac群コホモロジーから得られるCourant代数ダクトを構成すること。
• Dirac同調空間とその無限小Courant代数ダクト内での不変Lagrangian部分空間との間の一対一対応を確立すること。

提案手法

• Dirac群コホモロジー $G{\rightrightarrows}P$ の単位のLie代数ダクト $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$ を定義する。
• 乗法的Dirac構造に関連するLie代数ダクトとしてコア代数ダクト $I^{\mathsf{t}}(\mathsf{D}_G)$ を構成する。
• 環境 $TG \oplus T^*G$ から誘導される自然なCourant代数ダクト構造を持つベクトルバンドル $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G) \to P$ を導入する。
• 部分群コホモロジー $H$ の双方向の作用を用いて、Lagrangian部分空間の不変性条件を定義する。
• $G/H$ 上の $\mathsf{D}_G$-同調Dirac構造と、$\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 内の双方向作用に関して不変なLagrangian部分空間との間の一対一対応を確立する。
• PoissonおよびDirac幾何学からの定理を一般化し、同調空間の分類が無限小Courant代数ダクト内での不変Lagrangian部分空間に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dirac群コホモロジーの無限小データは、Lie代数ダクトおよびCourant代数ダクトの観点からどのように記述できるか？
• RQ2 Dirac群コホモロジーに関連するCourant代数ダクトの構造は何か？ また、Poisson群コホモロジーのLie双代数ダクト構成をどのように一般化するか？
• RQ3 Dirac群コホモロジーのDirac同調空間は、無限小データを用いてどのように分類されるか？
• RQ4 群コホモロジー $G/H$ 上のDirac構造が $\mathsf{D}_G$-同調的であるための条件は何か？
• RQ5 部分群コホモロジー $H$ の双方向の作用は、$\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 内の不変Lagrangian部分空間を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• Dirac群コホモロジーの単位 $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$ およびコア $I^{\mathsf{t}}(\mathsf{D}_G)$ は、自然なLie代数ダクト構造を有する。
• Poissonの場合、$\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$ は双対Lie代数ダクト $A^*G$ に同型であり、閉2形式の場合、コアは[3]で定義されたIM-2形式に対応する。
• ベクトルバンドル $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ は、Lie双代数ダクトから得られるCourant代数ダクトを一般化する自然なCourant代数ダクト構造を持つ。
• Dirac同調空間 $G/H$ は、$\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 内の双方向作用に関して不変なLagrangian部分空間によって分類され、不変性条件は群コホモロジー作用と整合性を持つ。
• ほぼDirac構造の場合、分類は $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 内の双方向作用に関して不変なLagrangian部分空間を含み、Poissonの場合を拡張する。
• Lie群コホモロジー上に左不変なDirac構造が閉じていることは、その無限小レベルへの引き戻しが $AG \oplus A^*G$ の部分代数ダクトであることと同値である。