[論文レビュー] Instantaneously complete Chern-Ricci flow and Kähler-Einstein metrics

Shaochuang Huang, Man-Chun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、初期データが不完全である可能性がある完備で非コンパクトな複素多様体上における即時的完全性を持つチャーン・リッチフローの存在を確立し、ギエンズとトッピングのリッチフロー結果を高次元へ一般化する。曲率と torsion の有界性のもとで、長期間にわたる存在と、Kähler-Einstein 計量への収束を証明し、ロット＝ジャンプおよびトサッティ＝ヴァインコーヴェの結果を、非コンパクトかつ曲率が有界でない設定へ拡張する。

ABSTRACT

In this work, we obtain some existence results of Chern-Ricci Flows and the corresponding Potential Flows on complex manifolds with possibly incomplete initial data. We discuss the behaviour of the solution as $t ightarrow 0$. These results can be viewed as generalization of an existence result by Giesen and Topping for surfaces of hyperbolic type of Ricci flow to higher dimensions in certain sense. On the other hand, we also discuss the long time behaviour of the solution and obtain some sufficient conditions for the existence of Kähler-Einstein metric on complete noncompact Hermitian manifolds, which generalizes the work of Lott-Zhang and Tosatti-Weinkove to complete noncompact Hermitian manifolds with possibly unbounded curvature.

研究の動機と目的

• 完備で非コンパクトな複素多様体上における、初期計量が不完全である可能性のあるチャーン・リッチフローおよびその関連フローの短時間存在を確立すること。
• 初期データが不完全または曲率が無限大である場合でも、$ t > 0 $ においてフローの即時的完全性を分析すること。
• 正規化されたチャーン・リッチフローが、完備で非コンパクトな複素多様体上での Kähler-Einstein 計量への長期間の存在と収束を保証する十分条件を導出すること。
• 従来の Kähler-Einstein 計量に関する結果（例：Lott-Zhang, Tosatti-Weinkove）を、非コンパクトかつ曲率が有界でない設定へ一般化すること。
• 特異または不完全な初期データを伴う放物型複素 Monge-Ampère 方程式を用いた、Kähler-Einstein 計量の研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 方程式 (1.2) における放物型複素 Monge-Ampère 方程式を用いて正規化されたチャーン・リッチフローを定義し、$ u $ が $ \frac{\partial}{\partial t}u = \nu \text{log} \frac{(\nu + \partial \bar{\partial} u)^n}{\theta_0^n} - u $ に従って進化するようにする。ここで $ \nu $ は時刻に依存する微分形式である。
• ポテンシャルフローの定式化を用いて、$ \nu(t) = \nu + \partial \bar{\partial} u $ を満たす $ u(t) $ の解とチャーン・リッチフローを関連させ、$ t > 0 $ で変化する計量の正定値性を保証する。
• 背景計量 $ h $ の曲率と torsion の有界性、および exhaustion 関数 $ \rho $ を用いて、$ M \times [1, \nu) $ 上で変化する計量 $ g(t) $ と $ h $ との間の一様等価性を確立する。
• 曲率と torsion の有界性のもとで、$ |\partial \rho|_h^2 + |\bar{\partial} \partial \rho|_h \leq K $ という条件のもとで最大値原理（補題 B.1）を適用し、$ f \leq 0 $ が $ M \times [0,S) $ 上で成り立つように進化を制御する。
• 計量の上界と下界を一様に保証するため、$ \text{tr}_g h $ と $ \text{tr}_h g $ の進化方程式を導出し、それらを用いる。
• 計量の一様等価性を活用し、曲率と torsion が有界である条件のもとで、[16] の定理 5.1 と同様の議論により、Kähler-Einstein 計量への収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期計量が不完全な場合でも、$ t > 0 $ において即時的完全性を示すために、どのような条件下でチャーン・リッチフローが成立するか？
• RQ2 背景計量 $ h $ が曲率が無限大である可能性がある完備で非コンパクトな複素多様体上において、正規化されたチャーン・リッチフローが Kähler-Einstein 計量に収束するか？
• RQ3 曲率、torsion、および exhaustion 関数に関するどのような幾何学的・解析的条件が、長期間の存在と計量の一様等価性を保証するか？
• RQ4 ポテンシャルフローの定式化 (1.2) をどのように用いることで、コンパクトまたは完全な初期計量に限らない存在結果を拡張できるか？
• RQ5 Lott-Zhang および Tosatti-Weinkove が Kähler-Einstein 計量に関して得た結果を、曲率が無限大である可能性のある非コンパクトな複素多様体へどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• 背景計量 $ h $ が曲率と torsion の有界性を満たし、$ |\partial \rho|_h^2 + |\bar{\partial} \partial \rho|_h \leq K $ を満たす proper exhaustion 関数 $ \rho $ を持つ限り、初期計量が不完全であっても、チャーン・リッチフローは $ t > 0 $ で即時的完全性を示す。
• 定理 1.1 の仮定のもとで、正規化されたチャーン・リッチフローはすべての $ t > 0 $ で存在し、$ M \times [1, \nu) $ 上で変化する計量 $ g(t) $ は背景計量 $ h $ と一様に等価である。定数は $ n, L, \nu, ||f||_\nu, K_0 $ のみに依存する。
• 背景計量 $ h $ が $ \text{BK}_h \leq -K $、$ |T_h|_h^2 + |\nabla^h_{\bar{\partial}} T_h| \leq K $ を満たし、exhaustion 関数 $ \rho $ が所定の有界性を満たす場合、フローは完備で非コンパクトな複素多様体上での Kähler-Einstein 計量に収束する。
• ポテンシャルフロー (1.2) は、放物型複素 Monge-Ampère 方程式としての定式化を提供し、初期計量が滑らかでないか不完全であっても、チャーン・リッチフローの制御を可能にする。
• 最大値原理（補題 B.1）を用いて、下位解が非正のまま保たれることを示し、曲率と torsion の制御のもとで計量の進化に対する一様な境界を得る。
• 一様等価性 $ C^{-1} h \leq g(t) \leq C h $ が $ M \times [1, \nu) $ 上で成り立つことから、フローは一様に非退化を保ち、標準的な放物型正則性の議論により Kähler-Einstein 計量への収束が保証される。