[論文レビュー] Integer Representations and Trajectories of the 3x + 1 Problem

Roy Burson|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2と3の累乗を用いた奇数の正の整数の新しい表現を提案する。すべての奇数 n に対して n ∼ 3n + 2（すなわち、その軌道が合流する）ことが成り立つならば、すべての奇数は特定の形に表現可能であり、その結果コラッツ予想が導かれる。主な貢献は、全予想をすべての奇数 n に対してこの合流条件 n ∼ 3n + 2 の証明に還元することにある。

ABSTRACT

This paper studies certain trajectories of the Collatz function. I show that if for each odd number $n$, $n\sim 3n+2$ then every positive integer $n \in \mathbb{N}\setminus 2^{\mathbb{N}}$ has the representation $$n=\left(2^{a_{k+1}}-\sum_{i=0}^{k}{2^{a_i}3^{k-i}} ight)/ 3^{k+1}$$ where $0\le a_0 \le a_1 \le \cdot \cdot \cdot \le a_{k+1}$. As a consequence, in order to prove Collatz Conjecture I illustrate that it is sufficient to prove $n\sim 3n+2$ for any odd $n\in \mathbb{N}\setminus 2^{\mathbb{N}} $. This is the main result of the paper.

研究の動機と目的

• 奇数の正の整数を2と3の累乗を用いて表現する新しい整数表現を確立すること。
• すべての奇数 n に対して n ∼ 3n + 2（軌道の合流）が成り立つならば、すべての奇数 n が特定の形に表現可能であることを示すこと。
• 全コラッツ予想を、すべての奇数 n に対して n ∼ 3n + 2 が成り立つことを示すことに還元すること。
• 逆方向の反復と閉包性を用いて、3x+1問題における軌道の構造的特徴を明らかにすること。

提案手法

• 非減少の指数 a_i を持つ (2^{a_{k+1}} - Σ_{i=0}^k 2^{a_i} 3^{k-i}) / 3^{k+1} の形に表現可能な整数の集合 R を定義する。
• R が倍数操作 n → 2n および逆コラッツ操作 (2n-1)/3 に関して閉じていることを証明する。
• 奇数の整数の順序付き集合を用いた帰納法により、n ∼ 3n + 2 が成り立つならば n ∈ R であることを示す。
• 2^a - 1 の形の数の軌道を分析し、R に属する値または2の累乗に到達することを示す。
• 3^{a/2 +1} + 2 と 2^a を含む不等式を用いて、T による 2^a + 1 の反復の上限を求める。
• 1 から逆方向に反復して、n → 2n および n → (n-1)/3 の操作列を用いて R に属するすべての整数を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての奇数の正の整数は、非減少の a_i を持つ (2^{a_{k+1}} - Σ_{i=0}^k 2^{a_i} 3^{k-i}) / 3^{k+1} の形に表現可能か？
• RQ2 すべての奇数 n に対して n ∼ 3n + 2 が成り立つならば、すべての奇数 n は表現可能な整数の集合 R に属するか？
• RQ3 1 からの逆方向反復は、コラッツに類似した操作を用いてすべての奇数の整数を生成する役割を果たすか？
• RQ4 2^a + 1 のような数の軌道はコラッツ写像下でどのように振る舞い、R または2の累乗に到達することが示せるか？
• RQ5 a ≥ 8 のとき、不等式 3^{a/2 +1} + 2 < 2^a + 1 が成り立つならば、その不等式を用いて反復の上限を定め、R への収束を保証できるか？

主な発見

• 2 で割り切れないすべての奇数の正の整数は、非減少の指数 a_i を持つ (2^{a_{k+1}} - Σ_{i=0}^k 2^{a_i} 3^{k-i}) / 3^{k+1} の形に表現可能である。
• 集合 R は操作 n → 2n および n → (2n-1)/3 に関して閉じている。
• すべての奇数 n に対して n ∼ 3n + 2 が成り立つならば、すべての奇数 n は R に属し、したがってコラッツ予想が成立する。
• a ≥ 8 のとき、2^a + 1 は T による反復で自身より小さい値に到達し、その値は2の累乗または R に属する。
• すべての a ≥ 8 に対して不等式 3^{a/2 +1} + 2 < 2^a + 1 が成り立つ。この不等式により 2^a + 1 の反復の上限が定まり、収束を支持する。
• a < 8 の場合は直接計算により検証され、すべての奇数の整数に対する帰納法のステップが完了する。