[論文レビュー] Integrable crystals and restriction to Levi via generalized slices in the affine Grassmannian

Vasily Krylov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ラングランズ双対群 $\check{G}$ のアフィングラスマンニアンにおける一般化された横断的スライスの幾何を用いて、再帰的群 $G$ の可解的クリスタルを構成する。テンソル積構造とレヴィ制限は、スライスの積やハイパボリック局在化といった幾何的作用を通じて実現され、 perverse 契約とスライスのコホモロジーを用いたクリスタル構造および表現論の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive algebraic group over $\mathbb{C}$. Let $Λ^{+}_{G}$ be the monoid of dominant weights of $G$. We construct the integrable crystals $\mathbf{B}^{G}(λ),\ λ\inΛ^{+}_{G}$, using the geometry of generalized transversal slices in the affine Grassmannian of the Langlands dual group. We construct the tensor product maps $\mathbf{p}_{λ_{1},λ_{2}}\colon \mathbf{B}^{G}(λ_{1}) \otimes \mathbf{B}^{G}(λ_{2}) ightarrow \mathbf{B}^{G}(λ_{1}+λ_{2})\cup\{0\}$ in terms of multiplication of generalized transversal slices. Let $L \subset G$ be a Levi subgroup of $G$. We describe the restriction to Levi $\operatorname{Res}^G_L\colon\operatorname{Rep}(G) ightarrow\operatorname{Rep}(L)$ in terms of the hyperbolic localization functors for the generalized transversal slices.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ の可解的クリスタル $\mathbf{B}^G(\lambda)$ を、ラングランズ双対群 $\check{G}$ のアフィングラスマンニアンにおける一般化された横断的スライスの幾何を用いて構成すること。
• 一般化された横断的スライスの積を通じて、テンソル積写像 $\mathbf{p}_{\lambda_1,\lambda_2}: \mathbf{B}^G(\lambda_1) \otimes \mathbf{B}^G(\lambda_2) \to \mathbf{B}^G(\lambda_1 + \lambda_2) \cup \{0\}$ を実現すること。
• レヴィ部分群 $L \subset G$ に対して、制限函手 $\operatorname{Res}^G_L: \operatorname{Rep}(G) \to \operatorname{Rep}(L)$ を一般化された横断的スライス上のハイパボリック局在化函手を用いて記述すること。
• コホモロジー的実現を通じて、$\check{G}$ の既約表現と $T_\mu \cap \overline{\operatorname{Gr}}^\lambda_G$ の交差の既約成分との間に幾何的対応を確立すること。

提案手法

• 幾何的サタケ同型を用いて、$\check{G}$ の既約表現をアフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_G$ 上の $G(\mathcal{O})$-同変 perverse 契約に同一視する。
• 可解的クリスタルは、$T_\mu$ が $2\rho_G$ によって誘導される $\mathbb{C}^*$-作用の吸引多様体であるとき、$\coprod_{\mu \in \Lambda_G} \operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)$ として実現される。
• テンソル積構造は、乗法的写像 $\mathbf{m}: \operatorname{Gr}^{\lambda_1}_G \star \operatorname{Gr}^{\lambda_2}_G \to \operatorname{Gr}^{\lambda_1 + \lambda_2}_G$ を用いてモデル化され、スライスへの誘導写像が関与する。
• ハイパボリック局在化函手を一般化された横断的スライス $\overline{\mathcal{W}}^\lambda_\mu$ に適用し、重み空間を計算し、レヴィ部分群への制限を実現する。
• クリスタル作用素は、スライスおよびその閉包のアフィングラスマンニアンにおける幾何的性質を用いて定義される Kashiwara 演算子の作用として実現される。
• 主な技術的道具は、$\operatorname{F}_\mu(\operatorname{IC}(\lambda)) \simeq \mathbb{C}[\operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)]$ の同型であり、コホモロジーと成分の組合せ論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群 $G$ の可解的クリスタルは、そのラングランズ双対群のアフィングラスマンニアンを用いた幾何的構成でどのように得られるか？
• RQ2 一般化された横断的スライスの幾何的積によって、クリスタル上のテンソル積構造はどのように実現されるか？
• RQ3 一般化スライス上のハイパボリック局在化函手は、$G$ からレヴィ部分群 $L \subset G$ への表現の制限をどのように記述するか？
• RQ4 クリスタル作用素の幾何的起源と、テンソル積とにおける整合性は何か？
• RQ5 既約表現のカノニカル基底は、$T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G$ の既約成分として幾何的に実現可能か？

主な発見

• 可解的クリスタル $\mathbf{B}^G(\lambda)$ は、$\mathbb{C}^*$-作用による幾何的定義により、$\coprod_{\mu \in \Lambda_G} \operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)$ として自然に実現される。
• テンソル積写像 $\mathbf{p}_{\lambda_1,\lambda_2}$ は乗法的写像 $\mathbf{m}$ による押し出しとして実現され、$\mathbf{m}^{\lambda_1,\lambda_2}_{\mu_1,\mu_2}(\mathbf{b}) = 0$ が像が最大次元でない場合に成り立つ。
• 制限函手 $\operatorname{Res}^G_L$ は、一般化された横断的スライス $\overline{\mathcal{W}}^\lambda_\mu$ に適用したハイパボリック局在化函手として実現され、表現の制限の幾何的構成が得られる。
• $\mathbf{B}^G(\lambda)$ 上のクリスタル構造は閉じており、テンソル積と整合する。これは、$\overline{\bf{\kappa}}$、$\tau$、および $\overline{\mathbf{m}}$ を含む図式の可換性によって示される。
• 一般化された横断的スライスのコホモロジーは、既約表現の重み空間を実現する：$\operatorname{F}_\mu(\operatorname{IC}(\lambda)) \simeq \mathbb{C}[\operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)]$。
• この構成により、$V^\lambda_{\check{G}}$ のカノニカル基底が $T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G$ の既約成分を通じて幾何的に実現され、最高重みベクトルは $z^\lambda$ を含む成分に対応する。