[論文レビュー] Integrable Discrete Nonautonomous Quad-equations as Bäcklund Auto-transformations for Known Volterra and Toda Type Semidiscrete Equations

R. N. Garifullin, R. I. Yamilov|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、既知のボルテラ型およびトーダ型半離散方程式に対するBäcklund自己変換として、可積分な非自己同型離散四辺形方程式を構築する。これらの方程式は一般化された対称性から導出し、解を保存する可逆的変換を適用することで、サイン・ゴードン型、リウヴィル型、ドレッシング鎖型の新しい可積分例を同定する。非多項式的Toda関連方程式も含み、主要なケースについて一般解、保存則、L-Aペアを提供する。

ABSTRACT

We construct integrable discrete nonautonomous quad-equations as Bäcklund auto-transformations for known Volterra and Toda type semidiscrete equations, some of which are also nonautonomous. Additional examples of this kind are found by using transformations of discrete equations which are invertible on their solutions. In this way we obtain integrable examples of different types: discrete analogs of the sine-Gordon equation, the Liouville equation and the dressing chain of Shabat. For Liouville type equations we construct general solutions, using a specific linearization. For sine-Gordon type equations we find generalized symmetries, conservation laws and $L-A$ pairs.

研究の動機と目的

• 既知の可積分な半離散ボルテアおよびトーダ型方程式に対する可積分な非自己同型離散四辺形方程式を、Bäcklund自己変換として構築すること。
• このような離散方程式が第二の一般化対称性を持つ場合を同定し、可積分性を保証すること。
• 解を保存する可逆的変換を用いて既知の可積分系を拡張すること。
• 線形化手法を用いて、ダーボウ可積分なリウヴィル型方程式の一般解を構成すること。
• 特にサイン・ゴードン型およびドレッシング鎖型の新しい可積分例について、保存則、一般化対称性、L-Aペアを導出すること。

提案手法

• 周期性および多項式的条件を満たす $ P_n $ を持つ、$ \frac{du_n}{dt} = P_n(u_n)(u_{n+1} - u_{n-1}) $ の形をした既知の可積分な半離散方程式から出発する。
• これらの系に対してBäcklund変換として機能する多項式的離散四辺形方程式 $ F_{n,m}(u_{n+1,m}, u_{n,m}, u_{n,m+1}, u_{n+1,m+1}) = 0 $ を導出する。
• 解を保存する可逆的変換を適用し、非多項式的例を含む新しい可積分な離散方程式を生成する。
• $ m $ 方向における第二の一般化対称性の存在を基準として、可積分なケースを選別する。
• リウヴィル型方程式に対して線形化技術を用い、一般解を構成する。
• 対称性および変換手法を用いて、サイン・ゴードン型およびドレッシング鎖型方程式の $ L-A $ ペアおよび保存則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の可積分なボルテアおよびトーダ型半離散方程式に対して、どの非自己同型離散四辺形方程式がBäcklund自己変換として現れるか？
• RQ2 解を保存する可逆的変換を用いることで、既知のものから新しい可積分な離散方程式をどのように生成できるか？
• RQ3 第二の一般化対称性の存在を保証する条件は何か？ これにより可積分性が確認される。
• RQ4 ダーボウ可積分なリウヴィル型離散方程式に対して、一般解を構成できるか？
• RQ5 新しい可積分例（例えばサイン・ゴードン型およびドレッシング鎖型）に対して、保存則、一般化対称性、$ L-A $ ペアは何か？

主な発見

• 著者らは、ボルテアおよびトーダ型半離散方程式に対する多項式的非自己同型離散四辺形方程式の5つの族を構築した。
• リウヴィル型方程式（例：式53, 73, 76）に対して、特定の線形化手順により一般解が導出され、式(76)はより複雑な第一積分を示している。
• Toda格子に対してBäcklund変換を生成する新しい非多項式的離散方程式（式93）が同定され、第二の対称性が、可積分格子方程式の非自己同型一般化をもたらした。
• サイン・ゴードン型方程式（86）に対して $ L-A $ ペアが構成され、2つの保存則および一般化対称性の階層が導出された。
• ドレッシング鎖の離散的類似物が構築され、$ L-A $ ペアおよび一般化対称性・保存則の1つの階層が得られ、式(86)が特殊ケースとして含まれる。
• ある点で1つの対称性が消える退化ケースが特定され、可積分系におけるさらなる研究の可能性を示唆している。