[論文レビュー] Integrals of automorphic Green's functions associated to Heegner divisors

Jan Hendrik Bruinier, Ulf Kuehn|ArXiv.org|Apr 9, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、O(2,p)の算術的商上のヒーゲナー除集合に関連する自動形式グリーン関数の積分について、クラインカーの極限公式を一般化する明示的公式を導出する。これらの積分とディリクレL関数、リーマンゼータ関数、一般化された除集合和との関係を確立し、非正則なエーゼルスタイン級数（重み1+p/2）のフーリエ係数と関連するグリーン関数積分を結びつけるクドゥラの結果の新たな証明および一般化を提供する。この級数はメタプレクティック群Mp₂(ℤ)に対して定義される。

ABSTRACT

In the present paper we find explicit formulas for the degrees of Heegner divisors on arithmetic quotients of the orthogonal group $\Orth(2,p)$ and for the integrals of certain automorphic Green's functions associated with Heegner divisors. The latter quantities are important in the study of the arithmetic degrees of Heegner divisors in the context of Arakelov geometry. In particular, we obtain a different proof and a generalization of results of Kudla relating these quantities to the Fourier coefficients of certain non-holomorphic Eisenstein series of weight $1+p/2$ for the metaplectic group $\Mp_2(\Z)$.

研究の動機と目的

• O(2,p)の算術的商上のヒーゲナー除集合に関連する自動形式グリーン関数の積分について、明示的公式を導出すること。
• クラインカーの極限公式を高ランクの直交群へ一般化し、これらの積分を特別なL関数と関連付けること。
• 非正則なエーゼルスタイン級数（重み1+p/2）のフーリエ係数とグリーン関数積分を結びつけるクドゥラの結果の新たな証明および拡張を提供すること。
• ヒーゲナー除集合の算術的次数とディリクレL関数およびリーマンゼータ関数の対数微分との明確な関係を確立すること。
• グリーン関数およびエーゼルスタイン級数を通じて、モジュラー形式およびボルヒャーツ積に関する既知の結果を、高次元の直交群へ拡張すること。

提案手法

• O(2,p)の対称空間K′上でのヒーゲナー除集合H(β,m)に関連する自動形式グリーン関数Φβ,m(Z,s)をボルヒャーツの方法により構成する。
• グリーン関数のフーリエ展開およびs = κ/2におけるその解析接続（κ = 1 + p/2）を適用する。
• 群代数ℂ[L′/L]上のSL₂(ℤ)のウェイル表現ρLを用いて、ℂ[L′/L]値をとるエーゼルスタイン級数E₀(τ,s)を定義する。
• エーゼルスタイン級数のs = κ/2における留数とグリーン関数の特異性との間の関係を確立する。
• 古典的クラインカーの極限公式およびローリヒのモジュラーゼンスン公式を用いて、Γ₁∖ℍ上でのlog|ΨD(τ)|²(4πy)^kの積分を計算する。
• ゼータ関数およびL関数の関数等式およびローラン展開を用いて、最終的な公式における対数微分項を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(2,p)上でのヒーゲナー除集合に関連する自動形式グリーン関数の積分を、どのように明示的に計算できるか？
• RQ2 これらの積分と特別なL関数（ディリクレL関数およびリーマンゼータ関数を含む）の特殊値との明確な関係は何か？
• RQ3 グリーン関数積分と非正則なエーゼルスタイン級数（重み1+p/2）のフーリエ係数を結びつけるクドゥラの結果は、SL₂(ℤ)の状況を超えて一般化可能か？
• RQ4 O(2,p)上でのヒーゲナー除集合の算術的次数は、L関数および除集合和の対数微分とどのように関係するか？
• RQ5 自動形式グリーン関数を用いて、クラインカーの極限公式を高ランクの直交群へどの程度拡張できるか？

主な発見

• Γ₁∖ℍ上でのヒーゲナー除集合H(D)の次数はL(χD,0)に等しく、これは解析的クラス数公式を回復する。
• Γ₁∖ℍ上でのlog|ΨD(τ)|²(4πy)^kの積分は、重みk = 24h/wでスケーリングされた2ζ′(−1)/ζ(−1) + 1 − L′(χD,0)/L(χD,0) − (1/2)log|D|で与えられる。
• 積分公式は、一般化された除集合和の寄与を含み、古典的クラインカーの極限公式を高次元の直交群へ一般化する。
• エーゼルスタイン級数E₀(τ,s)のs = κ/2における留数は、グリーン関数の特異性を符号化し、自動形式と算術的幾何学を結ぶ。
• グリーン関数積分と非正則なエーゼルスタイン級数（重み1 + p/2）のフーリエ係数との関係を結ぶことで、クドゥラの結果の新たな証明が得られる。
• O(2,p)上でのボルヒャーツ積のペーター損の対数の積分に対する最終公式は、ζ′(−1)/ζ(−1)、L′(χD,0)/L(χD,0)、およびlog|D|で表され、算術的意味を確認する。