[論文レビュー] Integrating Poisson manifolds via stacks

Hsian‐Hua Tseng, Chenchang Zhu|ArXiv.org|Nov 17, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、リー代数束 $T^*M$ が可積分でない場合を含めた一般のポアソン多様体の可積分性問題を解決するため、シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーを導入する。微分可能スタックとウェインスタイン群コホモロジーを用いて、任意のポアソン多様体がシンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーをもつことを証明し、その基底多様体上のポアソン構造と一対一対応を確立する。

ABSTRACT

A symplectic groupoid $G.:=(G_1 ightrightarrows G_0)$ determines a Poisson structure on $G_0$. In this case, we call $G.$ a symplectic groupoid of the Poisson manifold $G_0$. However, not every Poisson manifold $M$ has such a symplectic groupoid. This keeps us away from some desirable goals: for example, establishing Morita equivalence in the category of all Poisson manifolds. In this paper, we construct symplectic Weinstein groupoids which provide a solution to the above problem (Theorem ef{main}). More precisely, we show that a symplectic Weinstein groupoid induces a Poisson structure on its base manifold, and that to every Poisson manifold there is an associated symplectic Weinstein groupoid.

研究の動機と目的

• ポアソン多様体の可積分性問題を解決すること。これは、関連するリー代数束 $T^*M$ が可積分でない場合、シンプレクティック群コホモロジーが存在しないことによる。
• 古典的なシンプレクティック群コホモロジーと可積分ポアソン多様体の間の対応関係を、すべてのポアソン多様体にまで拡張するため、より広いクラスの対象を導入すること。
• 微分可能スタックとウェインスタイン群コホモロジーを用いた枠組みを確立し、非可積分なリー代数束を含む任意のリー代数束のグローバル可積分化を可能にすること。
• 任意のポアソン多様体が、その源写像がポアソン写像であるシンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーをもつことを証明し、基底多様体上のポアソン構造を回復できることを示すこと。
• シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーが古典的な源単連結シンプレクティック群コホモロジーと一致する条件を特定すること。すなわち、$T^*M$ が可積分である場合に限る。

提案手法

• リー代数束 $A$ の $A$-パスの空間を用いて、トポロジカル群コホモロジーを構成し、それをさらに構造を追加することでウェインスタイン群コホモロジーを形成する。
• シンプレクティック群コホモロジーを非可積分ケースに一般化するため、スタックに構造を備えたシンプレクティック形式を備えたシンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーを定義する。
• 微分可能スタックの理論を応用し、ポアソン多様体の幾何的・シンプレクティック的データを捉えるグローバルな対象を定義する。
• ウェインスタイン群コホモロジー $\mathcal{G}$ から局所的シンプレクティック群コホモロジー $G_{\text{loc}}$ を定義し、$\mathcal{G}$ 上のシンプレクティック形式が $G_{\text{loc}}$ 上に乗法的シンプレクティック形式を誘導することを示す。
• 局所モデルを用いて、シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーの源写像 $\bar{\mathbf{s}}$ がポアソン写像であることを証明し、その引き戻し写像がポアソン括弧を保存することを示す。
• 基底多様体 $M$ 上の標準的シンプレクティック形式 $\omega_c$ 及びそのパス空間への引き戻しを用いて、ウェインスタイン群コホモロジー上のシンプレクティック構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連するリー代数束 $T^*M$ が可積分でない場合を含め、任意のポアソン多様体がシンプレクティック群コホモロジーに可積分可能か？
• RQ2 非可積分リー代数束のグローバル可積分対象を得るためには、$A$-パスの空間にどのような構造を追加する必要があるか？
• RQ3 古典的なシンプレクティック群コホモロジーとポアソン多様体の間の対応関係を、すべてのポアソン多様体にまで拡張するにはどうすればよいか？
• RQ4 シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーが古典的な源単連結シンプレクティック群コホモロジーと一致する条件は何か？
• RQ5 ウェインスタイン群コホモロジー上のシンプレクティック構造から、基底多様体上のポアソン構造は一意に回復可能か？

主な発見

• 任意のポアソン多様体 $M$ は、シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジー $\mathcal{G}\rightrightarrows M$ をもつ。これはスタックの圏における可積分性問題の解決である。
• シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーの源写像 $\bar{\mathbf{s}}$ はポアソン写像であり、$M$ 上のポアソン構造は、$\mathcal{G}$ 上のシンプレクティック形式によって一意に決定される。
• $T^*M$ が可積分であるとき、シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジー $\mathcal{H}(T^*M)$ は表現可能であり、古典的な源単連結シンプレクティック群コホモロジーと一致する。
• シンプレクティックウェインスタイン群コホモロジーの構成は、$T^*M$ 上の標準的シンプレクティック形式 $\omega_c$ 及びそのパス空間への引き戻しに依存し、これによりエタール提示上に $\Gamma$-不変なシンプレクティック形式が誘導される。
• ウェインスタイン群コホモロジー上のシンプレクティック形式の乗法性は、パスに沿った標準形式の積分の加法性から従い、群コホモロジーの乗法性と整合性を保つ。
• スタック $\mathcal{X}$ 上のポアソン括弧は、提示の変更に対して不変であり、群コホモロジーの準同型 $J_H^*\omega_H = J_G^*\omega_G$ によって示される。