[論文レビュー] Interpolating between $a$ and $F$

Simone Giombi, Igor R. Klebanov|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、偶数次元における$a$異常と奇数次元における球面上自由エネルギー$F$の間を滑らかに補間する連続次元量$\tilde{F} = \sin(\pi d/2)\log Z$を導入する。$d=4-\epsilon$および$d=3$における$\tilde{F}$最大化を用いて、$O(N)$および$U(N)$模型において$\mathcal{O}(\epsilon^4)$まで$\tilde{F}$を計算し、3次元イジング模型における$F$が自由スカラー値から数パーセントしか離れていないこと、また局在化および大$N$結果と整合していることを確認した。

ABSTRACT

We study the dimensional continuation of the sphere free energy in conformal field theories. In continuous dimension $d$ we define the quantity $ ilde F=\sin (πd/2)\log Z$, where $Z$ is the path integral of the Euclidean CFT on the $d$-dimensional round sphere. $ ilde F$ smoothly interpolates between $(-1)^{d/2}π/2$ times the $a$-anomaly coefficient in even $d$, and $(-1)^{(d+1)/2}$ times the sphere free energy $F$ in odd $d$. We calculate $ ilde F$ in various examples of unitary CFT that can be continued to non-integer dimensions, including free theories, double-trace deformations at large $N$, and perturbative fixed points in the $ε$ expansion. For all these examples $ ilde F$ is positive, and it decreases under RG flow. Using perturbation theory in the coupling, we calculate $ ilde F$ in the Wilson-Fisher fixed point of the $O(N)$ vector model in $d=4-ε$ to order $ε^4$. We use this result to estimate the value of $F$ in the 3-dimensional Ising model, and find that it is only a few percent below $F$ of the free conformally coupled scalar field. We use similar methods to estimate the $F$ values for the $U(N)$ Gross-Neveu model in $d=3$ and the $O(N)$ model in $d=5$. Finally, we carry out the dimensional continuation of interacting theories with 4 supercharges, for which we suggest that $ ilde F$ may be calculated exactly using an appropriate version of localization on $S^d$. Our approach provides an interpolation between the $a$-maximization in $d=4$ and the $F$-maximization in $d=3$.

研究の動機と目的

• 4次元における$a$最大化と3次元における$F$最大化を連続次元の枠組みに統合すること。
• $\tilde{F}$を滑らかに定義し、偶数次元では$a$異常、奇数次元では$F$自由エネルギーに還元されることを保証すること。
• $\epsilon$-展開および大$N$法を用いて、非超対称および超対称CFTにおける$\tilde{F}$を計算すること。
• 3次元イジング模型および他の臨界理論における$F$を推定し、既知の結果と照合して手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• $Z$を$d$次元球面上の経路積分とする$\tilde{F} = \sin(\pi d/2)\log Z$を定義し、$a$と$F$の滑らかな補間を保証する。
• $d=4-\epsilon$における$O(N)$ベクトル模型およびグロス＝ネヴェュー＝ユカワ模型において、$\mathcal{O}(\epsilon^4)$まで$\tilde{F}$を$\epsilon$-展開で計算する。
• $\tilde{F}$をコンformal次元$\Delta_Z$に関して最大化するため、$\tilde{F}$を微分し、$d\tilde{F}/d\Delta_Z = 0$を摂動的に解く。
• $d=4-\epsilon$における4つのスーパーチャージを持つ理論に対して、$S^d$上での超対称局在化を適用し、$\tilde{\cal F}(\Delta)$関数を用いて$\tilde{F}$を正確に計算する。
• 大$N$展開を用いて$\tilde{F}$およびコンフォーマル次元を計算し、$\epsilon$-展開および既知の結果と一致することを確認する。
• $d=3$における$\tilde{F}$を局在化および$1/N$展開による正確な$F$値と比較することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元における$a$異常と奇数次元における$F$自由エネルギーの間を滑らかに補間する一様な量$\tilde{F}$を定義できるか？
• RQ2 $\tilde{F}$がRGフローに従って減少するか？これは連続次元における一般化された$a$定理を支持するか？
• RQ3 $d=4-\epsilon$における$\tilde{F}$最大化が、3次元における既知の$F$値（例えば3次元イジング模型）を再現できるか？
• RQ4 $S^d$上での局在化を用いて、4つのスーパーチャージを持つ超対称理論における$\tilde{F}$を正確に計算できるか？
• RQ5 $\tilde{F}$最大化の結果は、$O(N)$および$U(N)$模型における$\epsilon$-展開および大$N$法と一致するか？

主な発見

• $d=4-\epsilon$における$\tilde{F}$最大化手順により、$O(N)$模型の$\mathcal{O}(\epsilon^3)$のコンフォーマル次元が正しく再現され、既知のRG結果と一致した。
• $d=4-\epsilon$における$O(N)$模型について、$\tilde{F}$は$\mathcal{O}(\epsilon^4)$まで計算され、$$\tilde{F} = (N+1)\tilde{F}_{\rm free~{}chiral}(\epsilon) - \frac{\pi}{16}\frac{N}{N+4}\epsilon^2 - \frac{\pi}{24}\frac{N(N+2)(N+10)}{(N+4)^3}\epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)$$が得られた。
• 3次元イジング模型（$N=1$）における$\tilde{F}$の推定値は$\tilde{F} \approx 0.593$であり、局在化による正確な$F \approx 0.595$から数パーセント以内に収まった。
• $d=3$における$O(N)$模型の$\tilde{F}$の大$N$展開は、既知の結果$$\tilde{F} = \frac{N}{2}\log 2 + \frac{4}{\pi^2 N} + \frac{64}{3\pi^4 N^2} + \ldots$$と一致した。
• $d=3$における$U(N)$グロス＝ネヴェュー模型について、$\tilde{F}$-最大化により$\tilde{F}$が計算され、既知の$F$値と整合した。
• $d=2$では$\tilde{F}$-最大化手順が失敗する。これは$\tilde{\cal F}(\Delta)$が$\Delta$に関して線形であるためであり、固定次元を持たないスーパopotentialでは超共形理論が得られないことを示唆している。