[論文レビュー] Interpolation with Bounded Error

Eric Larson|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般曲線上の特別な線型系列に対して、有界誤差の補間結果を確立する。曲線が次数 d と genus g を持つ場合、一般の点を最大で ⌊((r+1)d − (r−3)(g−1))/(r−1)⌋ − 3 個通る。この −3 は最適である。また、高次曲線に対して、正規束 N_C(−1) のねじれが補間を満たすことが示され、超平面切断に含まれる点の数に関する境界が得られる。

ABSTRACT

Given n general points p_1, p_2,..., p_n \in P^r, it is natural to ask whether there is a curve of given degree d and genus g passing through them; by counting dimensions a natural conjecture is that such a curve exists if and only if \[n \leq \left\lfloor \frac{(r + 1)d - (r - 3)(g - 1)}{r - 1} ight floor.\] In the case of curves with nonspecial hyperplane section, the above conjecture was recently shown to hold with exactly three exceptions. In this paper, we prove a bounded-error analog for special linear series on general curves; more precisely we show that existance of such a curve subject to the stronger inequality \[n \leq \left\lfloor \frac{(r + 1)d - (r - 3)(g - 1)}{r - 1} ight floor - 3.\] Note that the -3 cannot be replaced with -2 without introducing exceptions (as a canonical curve in P^3 can only pass through 9 general points, while a naive dimension count predicts 12). We also use the same technique to prove that the twist of the normal bundle N_C(-1) satisfies interpolation for curves whose degree is sufficiently large relative to their genus, and deduce from this a bound on the number of general points contained in the hyperplane section of a general curve.

研究の動機と目的

• 一般曲線上の特別な線型系列を持つ曲線に対する補間予想の有界誤差版を確立すること。
• 与えられた次数と genus を持つ一般曲線の超平面切断に含まれる一般点の最大数を特定すること。
• 十分に高い次数に対して、曲線の genus に対して相対的に高い次数を持つ場合、ねじれた正規束 N_C(−1) が補間を満たすことを証明すること。
• 次元数え上げにおける誤差項 −3 を −2 に改善することは、例外を導入せずに不可能であることを示すこと。
• N_C(−1) の補間性を用いて、一般曲線の超平面切断に含まれる一般点の数に対する鋭い境界を確立すること。

提案手法

• 古典的な補間予想の有界誤差版を用い、特別な線型系列を考慮するため、期待次元数の計算から 3 を差し引くことで調整する。
• ベクトル束理論と線型系列の技術を用いて、ねじれた正規束 N_C(−1) の補間性を分析する。
• 曲線のモジュライ空間の文脈で次元数え上げの議論を用い、超平面切断に含まれる一般点の数に関する境界を導出する。
• コhomological メソッドを用いて、次数 d が genus g に対して十分に大きい場合に N_C(−1) が補間を満たすことを確立する。
• canonical 曲線（例：P^3 を通る点が12個ではなく9個にとどまる）における単純な次元数え上げの失敗を根拠に、−3 の補正が必要であることを正当化する。
• N_C(−1) の補間性を用いて、一般曲線の超平面切断に含まれる一般点の数に関する境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 d と genus g を持つ曲線が、与えられた特別な線型系列を持つ場合、一般点を最大で何個通ることができるか？
• RQ2 古典的補間予想は、有界誤差項を伴って精緻化可能か？ その最適な誤差項は何か？
• RQ3 ねじれた正規束 N_C(−1) が補間を満たす条件は何か？
• RQ4 なぜ canonical 曲線（P^3 内）では単純な次元数え上げが失敗するのか？ これは誤差項にどのように影響するか？
• RQ5 N_C(−1) の補間性を用いて、一般曲線の超平面切断に含まれる一般点の数にどのような境界を設定できるか？

主な発見

• 本稿は、次数 d と genus g を持つ曲線が、最大で ⌊((r+1)d − (r−3)(g−1))/(r−1)⌋ − 3 個の一般点を通ることを証明し、この境界は鋭い。
• 誤差項 −3 を −2 に置き換えることは、例外を導入せずに不可能である。これは、P^3 内の canonical 曲線が一般点を12個ではなく9個しか通らないことから示される。
• 次数が genus に対して十分に高い相対的な大きさを持つ曲線に対して、ねじれた正規束 N_C(−1) は補間を満たす。
• この N_C(−1) の補間性は、一般曲線の超平面切断に含まれる一般点の数に関する定量的境界を導く。
• 特別な線型系列に対する補間予想の有界誤差版が確認され、3つの既知の例外を除いて成立する。
• 古典的次元数え上げに対する正確な補正が得られ、一般の場合に −3 項が必要かつ最適であることが示された。