[論文レビュー] Intersection cohomology on nonrational polytopes

Paul Bressler, Valery A. Lunts|ArXiv.org|Feb 1, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、有理でない場合（すなわち、関連するトーリック多様体が存在しない場合）を含め、任意の凸多面体に対して、多項式環上の階付き加群を用いた層論的枠組みを導入し、交差コホモロジーを定義する。多面体のファイブに最小層を構成し、そのファイブにおける Verdier 対称性と分割に関する分解定理を証明することで、得られるコホモロジーが Poincaré 対称性を満たし、Hard Lefschetz 性質を満たすと予想する。これにより、有理性の仮定なしに Stanley の h ベクトルに関する非負性および単調性の予想が示される。

ABSTRACT

Viewing a fan as a partially ordered set (of cones) we consider a category of sheaves on the fan which corresponds to a category of equivariant sheaves on the corresponding toric variety if the fan is rational. In this category we define an object which corresponds to the equivariant intersection cohomology complex. Our first main result is the ``elementary'' decomposition theorem for the direct image under subdivision of fans We also develop the Borel-Moore- Verdier duality in the derived category of sheaves on the fan.

研究の動機と目的

• 有理でない凸多面体（関連するトーリック多様体が存在しない場合）に対して交差コホモロジーを定義すること。
• 一般の多面体の h ベクトルに対して Poincaré 対称性および Hard Lefschetz 性質を確立すること。
• トーリック多様体の等長幾何を模倣するファイブと階付き層を用いた組合せ的枠組みを提供すること。
• 得られるコホモロジーが多面体の面ラティスの組合せ的不変量であることを示すこと。
• 提案された層論的アプローチを用いて Kalai の g ベクトル不等式に関する予想を再証明すること。

提案手法

• ファイブ Φ を、錐上での多項式関数の層 AΦ を持つリング付き空間として定義する。
• 等長的層をモデル化するため、AΦ-加群のファイブで、余層的かつ局所自由で階付きのカテゴリ M(AΦ) を導入する。
• トーリック多様体が存在する場合に T-等長的交差コホモロジー複体に対応する最小層 LΦ を Φ 上に構成する。
• ファイブの分割に関する LΦ の直接像に対する分解定理を証明し、等長的分解定理を一般化する。
• AΦ-加群の導来カテゴリにおける Borel-Moore-Verdier 対称性を構築し、LΦ がその Verdier 対称双対と同型であることを示す。
• LΦ に付随する階付きベクトル空間として交差コホモロジー IH(Φ) を定義し、2次元の Lefschetz 演算子 l を用いてその性質を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の凸多面体の h ベクトルが、有理性の仮定なしに Stanley の非負性および単調性予想を満たすことは可能か？
• RQ2 有理でない多面体に対して、Poincaré 対称性を満たす well-defined な交差コホモロジー理論は存在するか？
• RQ3 一般の多面体に付随するファイブの交差コホモロジーに対して、Hard Lefschetz 予想は成り立つか？
• RQ4 Kalai の g ベクトル不等式は、幾何的仮定なしに層論的手法を用いて組合せ的に証明可能か？
• RQ5 ファイブの交差コホモロジーは、多面体の面ラティスにのみ依存する組合せ的不変量か？

主な発見

• ファイブ Φ の交差コホモロジー IH(Φ) は有限次元であり、奇数次元では消える。dim IH0(Φ) = dim IH2n(Φ) = 1 が成り立つ。
• IH(Φ) は Poincaré 対称性を満たす：すべての i に対して ih_{n−i}(Φ) = ih_{n+i}(Φ)。
• Hard Lefschetz 予想は、すべての i ≥ 1 に対して、写像 l^i: IH^{n−i}(Φ) → IH^{n+i}(Φ) が同型であると予測する。
• Hard Lefschetz 予想が成り立つならば、多面体の h ベクトルは h_0 ≤ h_1 ≤ ⋯ ≤ h_{[d/2]} および h_i = h_{d−i} を満たす。
• 錐 σ の Poincaré 多項式 ip(σ) は、任意の面 τ ⊂ σ に対して、係数ごとに ip(σ) ≥ ip(τ) · ip(Star(τ)) を満たす。
• この構成により、有理性仮定なしに Kalai の g ベクトル不等式に関する予想の新たな証明が得られる。