[論文レビュー] Intersection theory on the moduli space of holomorphic curves with Lagrangian boundary conditions

Jake P. Solomon|ArXiv.org|Jun 18, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 122

ひとこと要約

本稿では、擬全純写像のモジュライ空間における交線論を用いて、ラグランジュ部分多様体上に境界を持つ全純曲線のための、新しいオープン・グロモフ・ウィトテン不変量の族を導入する。ラグランジュ部分多様体が反シンプレクティック自己同型の固定点集合であり、次元が2または3であるという仮定の下で、不変量はラグランジュ部分多様体から引き戻された方向束を用いて定義され、 genus 0 においてウェルシュインガーの不変量を一般化することが示される。genus 0 かつ次数1の実的5次3次元超曲面に対しては、不変量が30に等しいことが計算された。

ABSTRACT

We define a new family of open Gromov-Witten type invariants based on intersection theory on the moduli space of pseudoholomorphic curves of arbitrary genus with boundary in a Lagrangian submanifold. We assume the Lagrangian submanifold arises as the fixed points of an anti-symplectic involution and has dimension 2 or 3. In the strongly semi-positive genus 0 case, the new invariants coincide with Welschinger's invariant counts of real pseudoholomorphic curves. Furthermore, we calculate the new invariant for the real quintic threefold in genus 0 and degree 1 to be 30.

研究の動機と目的

• 擬全純曲線がラグランジュ部分多様体上に境界を持つ場合の、新しいオープン・グロモフ・ウィトテン不変量の族を定義すること。
• ラグランジュ部分多様体が非可換である場合に、オープン安定写像のモジュライ空間における方向性の問題を解決すること。
• genus 0 におけるウェルシュインガーの実曲線数え上げを一般化する不変量を構成すること。
• genus 0 かつ次数1の実的5次3次元超曲面における不変量を計算すること。
• 同変Kuranishi構造と多重切断を用いて、横断的摂動を扱う厳密な枠組みを確立すること。

提案手法

• オープン安定写像のモジュライ空間にKuranishi構造と同変多重切断を導入し、障害バンドルを取り扱う。
• 境界付きマークド点における評価写像を介して、ラグランジュ部分多様体の方向束をモジュライ空間に引き戻する。
• 良い座標系を用い、ストラトムに沿った帰納的拡張を介して、多重切断の横断的摂動を構成する。
• 不変量は、摂動されたコーシー・リーマン方程式の解の符号付き重み付き数え上げをモジュライ空間上で統合することで定義される。
• 方向性を定義するために、決定的ラインバンドルの標準的選びによる自明化を用いる。
• 良い座標系と横断性の性質を用いて、摂動の変化に対して不変量が不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ部分多様体が非可換である場合に、境界を持つ全純曲線のためのオープン・グロモフ・ウィトテン不変量を定義できるか？
• RQ2 ラグランジュ部分多様体が相対的スピンである必要がない場合に、オープン安定写像のモジュライ空間における方向性の問題をどのように解決できるか？
• RQ3 新規の不変量構成が、実的擬全純曲線のgenus 0 におけるウェルシュインガーの不変量を回復するか？
• RQ4 genus 0 かつ次数1の実的5次3次元超曲面における新規不変量の値は何か？
• RQ5 Kuranishi構造と多重切断を用いて、オープン安定写像のモジュライ空間上に整合的な交線論を確立できるか？

主な発見

• 新規不変量は、反シンプレクティック自己同型の固定点集合として得られる次元2または3のラグランジュ部分多様体に対して、well-defined である。
• ラグランジュ部分多様体の方向束が、境界付きマークド点における評価写像を介して、オープン安定写像のモジュライ空間に引き戻され、方向束値の微分形式の統合が可能になる。
• 強い半正則なgenus 0 の場合、新規不変量は実的擬全純曲線のウェルシュインガーの不変量数え上げと一致する。
• genus 0 かつ次数1の実的5次3次元超曲面に対して、新規不変量は正確に30に等しいことが計算された。
• 良い座標系と横断的多重切断摂動を用いて、仮想基本クラスを表す有理的特異的鎖を定義する。
• 不変量は摂動および almost complex 構造の選び方に依存せず、変形に対して不変であることが証明された。