[論文レビュー] Introduction to the manifold calculus of Goodwillie-Weiss

Brian A. Munson|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グッドウィルディーとウェイズが開発した関手の多様体計算を紹介し、通常の微積分との類似性を用いて、多様体の開集合から位相空間への関手を研究する。関手の微分をホモトピー極限を用いて定義し、多項式近似のテイラー塔を構成し、滑らかな埋め込みの空間に対してその塔の収束を証明する。主な結果として、微分の連結性と元の関手への収束に関するものがある。

ABSTRACT

We present an introduction to the manifold calculus of functors, due to Goodwillie and Weiss. Our perspective focuses on the role the derivatives of a functor F play in this theory, and the analogies with ordinary calculus. We survey the construction of polynomial functors, the classification of homogeneous functors, and results regarding convergence of the Taylor tower. We sprinkle examples throughout, and pay special attention to spaces of smooth embeddings.

研究の動機と目的

• この分野に馴染みのない研究者向けに、関手の多様体計算の直感的で理解しやすい導入を提供すること。
• 関手の微分が通常の微積分におけるテイラー級数とどのように類似しているかを明確にすること。
• 多項式関手が一般の関手をどのように近似するか、およびテイラー塔が元の関手にどのように収束するかを説明すること。
• 特に関手 $ U \mapsto \operatorname{Emb}(U,N) $、つまり滑らかな埋め込みの空間に対して収束を分析すること。
• 埋め込みの場合における微分およびテイラー塔の段階の連結性の推定を確立すること。

提案手法

• 関手 $ F $ の $ n $-番目の微分を、有限集合の $ n $-要素部分集合の上での全ホモトピー芯として定義し、微積分における $ n $-階微分を一般化する。
• 関手の多項式近似を用いてテイラー塔を構成し、各段階を $ F $ の微分から構築する。
• ホモトピー極限と余極限を用いてテイラー塔を定義し、特にブラーカース・マセイ定理を用いて収束を分析する。
• 分配法則の技法と連結性の推定を用いて、埋め込み関手のためのテイラー塔の収束を分析する。
• ハンドル体分解と横断性を用いて、テイラー塔内の写像の連結性を制御する。
• テイラー塔の $ k $-番目の段階が、関手を $ (k+1) $-連結性まで近似することを証明し、微分が適切な連結性の境界を満たす場合に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関手の多様体計算における微分は、通常の微積分における微分とどのように類似して定義できるか？
• RQ2 関手のテイラー塔が元の関手に収束するための条件は何か？
• RQ3 関手 $ \operatorname{Emb}(U,N) $ の微分の連結性特性が、そのテイラー塔の収束にどのように影響するか？
• RQ4 ブラーカース・マセイ定理は、テイラー塔の収束を分析する際に果たす役割は何か？
• RQ5 埋め込み関手のためのテイラー塔は収束することができるか？もしそうならば、微分にどのような連結性の仮定が必要か？

主な発見

• 関手 $ F $ の $ n $-番目の微分は、開集合の $ n $-重立方体上の全ホモトピー芯として定義され、微積分における $ n $-階微分を一般化する。
• 関手が次数 $ k $ の多項式であるとは、その $ (k+1) $-番目の微分が収縮可能であることであり、このような関手はテイラー塔が次数 $ k $ で停止することによって特徴づけられる。
• 微分が適切な連結性の境界を満たす場合、関手のテイラー塔は元の関手に収束する。収束は塔内の写像の連結性によって測定される。
• 埋め込み関手 $ \operatorname{Emb}(U,N) $ に対して、$ N $ が $ n $-次元であるとき、$ k $-番目の微分は $ (n-k-1) $-連結である。このため、テイラー塔は収束する。
• 標準的な次元の仮定の下で、埋め込みのためのテイラー塔の線形および二次の段階は、それぞれ $ (n-3) $-連結および $ (n-5) $-連結であることが示された。
• ブラーカース・マセイ定理を用いて、写像が $ k_1 $-および $ k_2 $-連結で、かつ正方形が $ k $-余コカートジアンである場合、正方形が $ (k_1 + k_2 - 1) $-カルテジアンであることを証明し、これは埋め込みの場合の連結性推定において不可欠である。