[論文レビュー] Invariable generation and the chebotarev invariant of a finite group

William M. Kantor, Alexander Lubotzky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限群における不変生成に関するタイトな上限を確立し、任意の有限群は高々 $\log_2|G|$ 個の元によって不変に生成可能であり、等号が成り立つのは $G$ が初等アーベルな2群である場合に限ることを証明している。さらに、チェボタレフ不変量 $C(G)$ は $O(|G|^{1/2} \\sqrt{ \\log|G| })$ であることが示され、任意の非アーベルな有限単純群が2つの元によって不変に生成可能であることも証明されている。

ABSTRACT

A subset S of a finite group G invariably generates G if G = for each choice of g(s) 2 G; s 2 S. We give a tight upper bound on the minimal size of an invariable generating set for an arbitrary finite group G. In response to a question in [KZ] we also bound the size of a randomly chosen set of elements of G that is likely to generate G invariably. Along the way we prove that every finite simple group is invariably generated by two elements.

研究の動機と目的

• 任意の有限群における不変生成集合の最小サイズを特定すること。これは [KZ] における疑問に応える。
• 有限群を不変に生成するために必要なランダムな元の期待数、すなわちチェボタレフ不変量 $C(G)$ の上限を求める。
• 任意の非アーベルな有限単純群が2つの元によって不変に生成可能であることを証明すること。これは独立に興味深い結果である。
• 有限単純群の分類および群論的構造的手法を用いて、$d_I(G)$ および $C(G)$ に対する鋭い上界を確立すること。
• 不変生成と通常の生成を比較し、$d_I(G)$ が $d(G)$ よりも著しく大きい場合があることを強調すること。

提案手法

• 有限単純群の分類を、中心系列および極大部分群の解析に基礎とする。
• [CC] および [FG1] における推移的置換群における固定点を持たない元の数に関する上限を適用する。
• [LPS] における有限群における極大部分群の数に関する最近の上限を用いて、チェボタレフ不変量を制御する。
• 有限型 Lie 群における半単純元の中心化群を分析し、共役類の大きさを制限することで、不変生成確率を評価する。
• [FG1] および [LuP] から得られる、密度 $v(M) \geq \epsilon$ を満たす極大部分群 $M$ に関する結果を活用し、ある絶対定数 $\epsilon > 0$ を用いる。
• 確率的群論と特徴和推定、共役類構造を組み合わせ、ランダムな元が $G$ を不変に生成する確率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 $G$ に対して、最小不変生成集合 $d_I(G)$ の最大可能なサイズは何か？
• RQ2 不変生成に必要な期待時間（チェボタレフ不変量 $C(G)$）は $|G|$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 任意の非アーベルな有限単純群は2つの元によって不変に生成可能か？
• RQ4 $d_I(G)$ と $C(G)$ は、通常の生成数 $d(G)$ や期待生成時間 $E(G)$ と比べてどう異なるか？
• RQ5 有限単純群に対して $d_I(G)$ および $C(G)$ に一様な上限が存在するか？また、これはその Lie 型や交代型構造とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の有限群 $G$ に対して $d_I(G) \leq \log_2|G|$ が成り立ち、等号が成り立つのは $G$ が初等アーベルな2群である場合に限る。
• チェボタレフ不変量は、ある絶対定数 $c$ を用いて $C(G) \leq c|G|^{1/2}\sqrt{\\log|G|}$ と評価でき、この上限はほとんどタイトである。
• $r \geq 1$ に対して、$d(G) = 2$ だが $d_I(G) \geq r$ となる有限群 $G$ が存在する。これは $d_I(G)$ が $d(G)$ よりも任意に大きく取り得ることを示している。
• 任意の非アーベルな有限単純群は2つの元によって不変に生成可能であり、これは極大部分群および中心化群の解析により証明された。
• ある絶対定数 $\epsilon > 0$ が存在し、$k$ 個のランダムな元が有限単純群 $G$ を不変に生成する確率 $P_I(G,k)$ に対して $P_I(G,k) \leq 1 - \epsilon^k$ が成り立つ。これは、有界な $k$ で不変生成が起こりにくいことを示している。
• $f(n) \to \infty$ となる任意の関数について、$|G| \to \infty$ のとき $P_I(G,f(|G|)) \to 1$ となる。これは、わずかに対数より大きなランダム選択数があれば、不変生成が確率的に成立することを示している。