[論文レビュー] Invariance principles for pruning processes of Galton-Watson trees

Hui He, Matthias Winkel|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、離散的ガルトン＝ウォーソンの剪定過程と連続的レヴィの森過程との間の不変性原理を確立し、適切にスケーリングされたガルトン＝ウォーソンの森の剪定過程が、スコロホド位相において極限の剪定過程に分布収束することを示している。主な結果は、アブラハムとデルメールが提起した未解決問題を解決し、ドメイン・オブ・アトラクションの条件下で、辺の剪定および分岐点の剪定の両方の収束を証明する。

ABSTRACT

Pruning processes $(\mathcal{F}(θ),θ\geq 0)$ have been studied separately for Galton-Watson trees and for Lévy trees/forests. We establish here a limit theory that strongly connects the two studies. This solves an open problem by Abraham and Delmas, also formulated as a conjecture by Löhr, Voisin and Winter. Specifically, we show that for any sequence of Galton-Watson forests $\mathcal{F}_n$, $n\geq 1$, in the domain of attraction of a Lévy forest $\mathcal{F}$, suitably scaled pruning processes $(\mathcal{F}_n(θ),θ\geq 0)$ converge in the Skorohod topology on cadlag functions with values in the space of (isometry classes of) locally compact real trees to limiting pruning processes. We separately treat pruning at branch points and pruning at edges. We apply our results to study ascension times and Kesten trees and forests.

研究の動機と目的

• 離散的ガルトン＝ウォーソンの剪定過程と連続的レヴィの森過程とを結ぶ極限理論を確立すること。
• アブラハムとデルメールが提起した未解決問題を解決し、ローハー、ボアシン、ウィンターが予想した剪定過程の収束を証明すること。
• スケーリング極限の文脈において、辺の剪定と分岐点の剪定の両方の研究を統一すること。
• 収束結果を応用して、極限における上昇時刻とケステンの森を分析すること。

提案手法

• レヴィの森 $\mathcal{F}$ の吸引域に属するガルトン＝ウォーソンの森の系列 $\mathcal{F}_n$ を用いたスケーリング極限、スケーリング係数 $\gamma_n \to \infty$。
• 局所コンパクトな実木の等長類の空間値をとる右連続で左極限をもつ関数（cadlag）関数の空間におけるスコロホド位相の応用。
• 辺の剪定 ($A^E(\theta)$) と分岐点の剪定 ($A^B(\theta)$) を別々に取り扱い、剪定時刻に独立な指数分布の時計を用いる。
• スケーリングされた剪定過程 $\mathcal{F}_n(\theta)/\gamma_n$ が極限過程 $\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta)$ に分布収束することを確立する。
• 子孫分布 $\xi_n$ が、グレイ条件および保存性条件を満たす極限分岐機構 $\psi$ に収束することを活用する。
• 測度的木の収束にグロモフ＝ハウスドルフ位相を用い、$q_0(\theta)$ および $q_n^{-1}$ の逆関数を用いて上昇時刻の分析と結合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切なスケーリングのもとで、ガルトン＝ウォーソンの森の剪定過程は極限のレヴィの森過程に収束するか？
• RQ2 同じ極限枠組みの中で、辺の剪定と分岐点の剪定の両方に対して収束を一様に確立できるか？
• RQ3 集団サイズが増大する際の剪定過程における上昇時刻の極限的挙動は何か？
• RQ4 極限の剪定過程は、ケステンの森および関連する絶滅時刻分布とどのように関係するか？

主な発見

• スケーリングされた剪定過程 $\mathcal{F}_n^E(\theta/n)/\gamma_n$ および $\mathcal{F}_n^B(\theta/n)/\gamma_n$ は、スコロホド位相において極限の剪定過程 $\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta)$ に分布収束する。
• 極限過程 $\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta)$ は、グレイ条件および保存性条件を満たす分岐機構 $\psi$ を持つレヴィの森剪定過程である。
• $n$ 番目のガルトン＝ウォーソンの森の上昇時刻 $A_n$ は、極限過程の上昇時刻 $A$ に分布収束し、部分列に沿ってほとんど確実に $A_n \to A$ となる。
• 連合収束 $ (\mathcal{F}_n^B(\theta/n)/\gamma_n, \theta \geq -A_n) \xrightarrow{d} (\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta), \theta \geq -A) $ が成り立ち、極限の連合分布が特定される。
• 逆関数 $q_n^{-1}(e^{-W/\lfloor nx\rfloor})$ が $q_0^{-1}(W/x)$ に収束することにより、ケステンの森の結合の安定性が極限で保証される。
• 上昇時刻 $A$ の極限分布は原子を持たないため、極限の連合分布の一意性と安定性が保証される。