[논문 리뷰] Inverse semigroup C*-algebras associated with left cancellative semigroups

Magnus Dahler Norling|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 27.

semigroups and automata theory참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 왼쪽 취소 가능 세미군 S에 대해, S의 왼쪽 역구조 I_l(S)의 전체 및 축소 C*-대수 C^*(I_l(S))와 C^*_r(I_l(S))가 특정 조건 하에서 Xin Li의 대수 C^*(S)와 C^*_r(S)와 자연스럽게 동형임을 보여줌으로써, Xin Li의 세미군 C*-대수와 역세미군 C*-대수 사이의 정확한 연결 고리를 확립한다. 핵심 결과는 자연스러운 사상 C^*(S) → C^*_r(S)가 동형임과 동치인 조건은 특정한 G(S) 위의 펠 백업이 약화 가능할 때이며, 이는 니카의 약화 가능성 조건을 일반화한다.

ABSTRACT

To each discrete left cancellative semigroup $S$ one may associate a certain inverse semigroup $I_l(S)$, often called the left inverse hull of $S$. We show how the full and the reduced C*-algebras of $I_l(S)$ are related to the full and reduced semigroup C*-algebras for $S$ recently introduced by Xin Li, and give conditions ensuring that these algebras are isomorphic. Our picture provides an enhanced understanding of Li's algebras.

연구 동기 및 목표

• 왼쪽 취소 가능 세미군에 대한 Xin Li의 전체 및 축소 C*-대수와 역세미군 C*-대수 사이의 구조적 관계를 명확히 하기.
• Li의 C^*(S)와 C^*_r(S)가 왼쪽 역구조 I_l(S)의 전체 및 축소 C*-대수와 동형이 되는 정확한 조건을 규명하기.
• 니카의 쿼asi-격자 순서 그룹에 대한 약화 가능성 조건을 G(S) 위의 펠 백업의 약화 가능성으로 표현함으로써 일반화하기.

제안 방법

• 왼쪽 취소 가능성에 의해 전단사인 왼쪽 곱셈 연산자 λ_s의 생성으로서 왼쪽 역구조 I_l(S)를 구성한다.
• C^*(S) → C^*_r(S)의 자연스러운 전단사 ∗-환원사상은 C^*_0(I_l(S))와 C^*_{r,0}(I_l(S))를 통해의 사상의 합성으로 정의되며, Li의 대수와 역세미군 대수 사이의 연결 고리를 형성한다.
• 밀란의 약한 포함 이론과 펠 백업의 약화 가능성 이론을 사용하여 Λ_0: C^*_0(I_l(S)) → C^*_{r,0}(I_l(S))가 동형이 되는 조건을 특성화한다.
• G(S) 위의 펠 백업 {B_g}_{g∈G}가 약화 가능할 때, Λ_0가 동형임을 보장하며, 이는 B_g = \overline{\text{span}}\{λ_t^*λ_s : st^{-1} = g\}로 정의된다.
• S가 약화 가능한 군에 통합될 수 있을 경우, 펠 백업 {B_g}_{g∈G}는 약화 가능하므로, Λ_0는 동형이며, C^*(S) → C^*_r(S)는 동형이다.
• 클리포드 조건을 만족하거나 독립적인 구성 가능한 오른쪽 이상을 가진 세미군의 경우, 약화 가능성 또는 군에의 통합 조건 하에서 동형이 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왼쪽 취소 가능 세미군 S에 대해 자연스러운 사상 C^*(S) → C^*_r(S)가 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Xin Li의 C^*(S)와 C^*_r(S)는 왼쪽 역구조 I_l(S)의 전체 및 축소 C*-대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 G(S) 위의 펠 백업 {B_g}_{g∈G}가 언제 약화 가능하며, 이는 C^*(S)와 C^*_r(S)의 동형성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 G(S)의 약화 가능성은 C^*(S)와 C^*_r(S)의 핵심성(핵심성)을 어떻게 유도하는가?
• RQ5 니카의 쿼아지-격자 순서 그룹에 대한 약화 가능성 조건은 G(S) 위의 펠 백업의 구조를 통해 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 자연스러운 사상 C^*(S) → C^*_r(S)가 동형임과 동치인 조건은 G(S) 위의 펠 백업 {B_g}_{g∈G}가 약화 가능할 때이다.
• S가 약화 가능한 군에 통합될 경우, 펠 백업 {B_g}_{g∈G}는 약화 가능하므로, C^*(S) → C^*_r(S)는 동형이며, 양대수는 핵심적이다.
• 클리포드 조건을 만족하는 세미군의 경우, 사상 η: C^*(S) → C^*_0(I_l(S))는 동형이며, C^*(S) → C^*_r(S)는 동형이 되는 것과 동치인 조건은 펠 백업 {B_g}_{g∈G}가 약화 가능할 때이다.
• S가 취소 가능하고 왼쪽으로 반전 가능한 경우, C^*_0(I_l(S))는 핵심적일 때이고, 오직 그 때일 때이다.
• S가 왼쪽으로 반전 가능한 경우, S ↦ C^*(I_l(S))의 구성은 최대 군 환원 이미지 G(S)를 통해 군으로의 환원사상에 대해 함성적이다.
• GCD 도메인 R에 대한 ax+b-세미군의 경우, 자연스러운 사상 C^*(R ⋊ R^×) → C^*_r(R ⋊ R^×)는 동형이며, 대수는 핵심적이다.