[論文レビュー] Irreducible representations of rational Cherednik algebras for exceptional Coxeter groups, Part I

Emily Norton|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、例外的コクセター群 $W = H_4$, $E_6$, $E_7$, $F_4$ および $E_8$ に対して、$c = 1/d$ の場合の有理 Cherednik 代数 $H_c(W)$ の分解行列を計算する。ここで $d$ は $W$ の基本次数を割り切り、$d \neq 2$ である。これらの分解行列が、$ε \mid \Phi_d(q)$ を満たす有限 Lie 型群 $G(q)$ の単純型ブロックの分解行列に正方形部分行列として埋め込まれることを確立し、有理 Cherednik 代数の表現論と非定義的特徴のモジュラー表現論との間に深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

This paper and its sequel describe the irreducible representations of the rational Cherednik algebra $H_c(W)$ for a finite Coxeter group $W$ of type $H_4$, $F_4$ with equal parameters, $E_6$, $E_7$, and $E_8$, when $c$ is not a half-integer. Herein appear the decomposition matrices of Category $\mathcal{O}_c(W)$ for $W=H_4$, $E_6$, and $E_7$, as well as a classification of finite-dimensional representations of $H_c(W)$ for these groups and for $H_c(F_4)$ with equal parameters.

研究の動機と目的

• 例外的コクセター群 $W = H_4$, $E_6$, $E_7$, $F_4$, $E_8$ に対して、$c = 1/d$ で $d$ が基本次数を割り切り、$d \neq 2$ の場合の Category $\mathcal{O}_c(W)$ の分解行列を決定すること。
• これらの群に対して $H_c(W)$ の有限次元既約表現を分類すること。
• 有理 Cherednik 代数の分解行列と、非定義的特徴における有限 Lie 型群 $G(q)$ の単純型ブロックの分解行列との間の構造的・数値的関係を確立すること。
• $\ell \mid \Phi_d(q)$ のとき、$H_c(W)$ の分解数と $G(q)$-ブロックの分解数との間の関係を示す予想を提示すること。

提案手法

• 分解データを保存する $\operatorname{KZ}: \mathcal{O}_c(W) \to \mathcal{H}_q(W)$-mod の KZ ファンクターを活用し、$q = e^{2\pi i c}$ における Hecke 代数 $\mathcal{H}_q(W)$ のモジュールに $\mathcal{O}_c(W)$ のモジュールを写像する。
• 既知の Hecke 代数 $\mathcal{H}_q(W)$ の $q = e^{2\pi i c}$ における分解行列（[GJ] に表記）を出発点とし、行と列を符号表現でテンソル積をとることで、$H_c(W)$-モジュールのラベルに一致させる。
• $\mathcal{H}_q(W)$ のモジュールのうち、完全でないサポートを持つ既約表現に対応する列を削除する KZ ファンクターの性質を用い、誘導と制限を用いて再びエントリを復元することで、$H_c(W)$ ブロックの完全な分解行列を回復する。
• $\mathfrak{sl}_2$-加群構造を既約表現に適用する：有限次元性は $h_c(\tau) \in \mathbb{Z}_{\leq 0}$ を意味し、これにより可能な最低重量が制限される。
• 補題 (E), (Symm), (dim Hom), および (RR) を用いて、特にデフェクト 1 のブロックにおける分解行列の欠落エントリを計算する。
• ブロックのデフェクトによる解析：デフェクト 0 ブロックは単一のモジュールから成り、デフェクト 1 ブロックは完全でないサポートを持つ唯一の単純モジュールを持ち、三重対角構造の分解行列をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W = H_4$, $E_6$, $E_7$, $F_4$, $E_8$ に対して、$c = 1/d$ で $d$ が基本次数を割り切り、$d \neq 2$ のとき、$\mathcal{O}_c(W)$ の分解行列は何か？
• RQ2 $H_c(W)$ のどの既約表現が有限次元であり、その次元は何か？
• RQ3 有理 Cherednik 代数の分解行列と、$\ell \mid \Phi_d(q)$ を満たす有限 Lie 型群 $G(q)$ の単純型ブロックの分解行列との関係は何か？
• RQ4 $\ell \gg 0$ のとき、$H_c(W)$ の分解行列が $G(q)$-ブロックの分解行列に部分行列として埋め込まれるか？
• RQ5 $H_c(W)$ と $G(q)$-ブロックの間で、分解数に一般に成り立つ数値的関係はあるか、特に下界の観点から？

主な発見

• $W = H_4$, $E_6$, $E_7$ に対して、$c = 1/d$ で $d$ が基本次数を割り切り、$d \neq 2$ の場合の $\mathcal{O}_c(W)$ の分解行列が計算され、表形式で提示されている。
• $W = H_4$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ に対して、$c = 1/d$ で $d$ が基本次数を割り切る場合、$H_c(W)$ のすべての有限次元既約表現が分類されている。
• $\ell \mid \Phi_d(q)$ のとき、$H_c(W)$ の分解行列は、$G(q)$ の単純型ブロックの分解行列に正方形部分行列として埋め込まれており、$E_6$, $E_7$, $E_8$ において $c = 1/4$ の場合を含め、すべての計算済みケースで成り立つ。
• $H_c(W)$ の分解行列は、すべての既約表現のキャラクターを逆行列により与え、Verma フラグの重複度 $[L(\tau) : M(\sigma)]$ を符号化している。
• デフォルト 1 のブロックでは、任意の既約表現の Verma 分解が、重み直線上でその右にある Verma の交代和として与えられ、Rouquier によって証明されている。
• 本稿は、$H_c(W)$ における分解数 $[M(\tau) : L(\sigma)]$ が、$\tau \otimes \mathrm{sgn}$ および $\sigma \otimes \mathrm{sgn}$ をラベルとする $G(q)$-ブロックにおける対応する分解数の下界であると予想している。$A_n$, $B_n$, および例外型において、その証拠が得られている。