[論文レビュー] Irreducible Virasoro modules from irreducible Weyl modules

Rencai Lü, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、微分作用素代数 $\mathbb{C}[t,t^{-1},\frac{d}{dt}]$ 上の既約ウェイル加群に対してねじれ技法を適用することにより、新しい種類の非重み付きで既約なバーラソロ代数加群を構成する。主な貢献は、これらの加群の既約性および同型条件の完全な分類であり、特に $\mathbb{C}[x]$ 上に定義される新しい族 $\Omega(\lambda,b)$ を導入し、これが既存のすべての既知の非重み付きで既約なバーラソロ代数加群と同型でないことが示されている。

ABSTRACT

We use Block's results to classify irreducible modules over the differential operator algebra $\mathbb{C}[t,t^{-1}, \frac d{dt}]$. From this classification and using "the twisting technique" we construct a lot of new irreducible modules over the Virasoro algebra. These new irreducible Virasoro modules are generally not weight modules. We determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible Virasoro modules to be isomorphic. Many examples for such irreducible Virasoro modules with different features are provided at the end of the paper. In particular the class of irreducible Virasoro modules $Ω(λ, b)$ are defined on the polynomial algebra $\mathbb{C}[x]$.

研究の動機と目的

• 微分作用素代数 $\\mathbb{C}[t,t^{-1},\frac{d}{dt}]$ 上の既約加群をブロックの結果を用いて分類すること。
• 既約ウェイル加群にねじれ技法を適用することにより、新しい族の非重み付きで既約なバーラソロ代数加群を構成すること。
• このようなねじれ加群が既約であるための必要十分条件を特定すること。
• 構成された既約バーラソロ代数加群の同型条件を確立すること。
• 新しい加群 $A_b$ が、誘導加群やホイットカー型の構成から得られる既存のすべての既約バーラソロ代数加群と同型でないことを示すこと。

提案手法

• $\mathbb{C}[t,t^{-1},\frac{d}{dt}]$ 上の既約加群のブロック分類を用い、$\mathbb{C}[t,t^{-1}]$-ねじれ自由かつ $\mathbb{C}[\partial]$-ねじれ自由な既約加群 $A$ を特定する。
• パrameter $b \in \mathbb{C}$ を用いたねじれ技法を適用し、このような $A$ からバーラソロ加群 $A_b$ を構成する。$d_k$ の作用は、ローレンツ多項式上の微分作用素によって定義する。
• 単項式 $t^r \partial^s$ 上におけるバーラソロ生成子 $d_k$ の作用を、公式 $d_k \cdot (t^r \partial^s) = (rt^{k+r} + bkt^{k+r+1})\partial^s + t^{k+r+1}\partial^{s+1}$ で定義する。$s = n-1$ の特別な場合を除く。
• $A$ に関する導出された条件と $b \neq 1$ の下で、$d_k$ の作用を分析し、真の非自明な部分加群が存在しないことを示すことにより、$A_b$ の既約性を確立する。
• $A_b$ と $A'_b$ がバーラソロ加群として同型であるための必要十分条件は、それらの基盤となる $\mathcal{K}$-加群が同型であり、かつ $b$ が同一であることであることを証明する。
• ねじれ自由性および微分作用素の関係に基づく背理法を用い、$\mathrm{Ind}_\theta(N)$ や $\mathrm{Ind}_{\theta,z}(\mathbb{C}_{\mathbf{m}})$ のような既存の加群とは同型でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $b \in \mathbb{C}$ に対して、ねじれバーラソロ加群 $A_b$ がいつ既約になるか。
• RQ2 2つのねじれ加群 $A_b$ と $A'_b$ がバーラソロ加群としていつ同型になるか。
• RQ3 $\mathbb{C}[x]$ 上に定義される新しい加群 $\Omega(\lambda,b)$ は、既存の既約バーラソロ代数加群と同型か。
• RQ4 ねじれ加群 $A_b$ は、誘導加群 $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ や $\mathrm{Ind}_{\theta,z}(\mathbb{C}_{\mathbf{m}})$ と同型になり得るか。
• RQ5 構造的性質の観点から、新しい $A_b$ 加群は既存の非重み付きで既約なバーラソロ代数加群とどのように区別されるか。

主な発見

• ねじれ加群 $A_b$ は、基盤となる $\mathcal{K}$-加群 $A$ が既約であり、かつ $b \neq 1$ である場合に限り既約であり、ローレンツ多項式上の微分作用素によって作用が定義される。
• $A_b$ と $A'_b$ が既約加群として同型であるための必要十分条件は、それらの基盤となる $\mathcal{K}$-加群が同型であり、$b$ が同一であることである。
• $\lambda \in \mathbb{C}^*$ および $b \in \mathbb{C}$ に対して $\mathbb{C}[x]$ 上に定義される、既約バーラソロ代数加群の族 $\Omega(\lambda,b)$ が、ねじれ構成から明示的に導出された作用を伴って定義される。
• $A_b$ は、$\mathrm{Ind}_\theta(N)$ に対して同型でない。これは、$k$ が十分に大きい場合に $d_k$ の消える条件が異なるためである。
• $A_b$ は、[MW] における $\mathrm{Ind}_{\theta,z}(\mathbb{C}_{\mathbf{m}})$ とも同型でない。後者は $d_2, d_3, d_4$ に特定の線形関係を満たすが、$A_b$ がそれらを満たすとねじれ自由性に矛盾する。
• 新しい加群 $A_b$ は、ホイットカー型や誘導加群を含む、これまでに知られていたすべての既約バーラソロ代数加群とは異なる。これは構造的性質およびねじれ自由性の議論によって証明された。